Почему фотон существует при нулевой массе?

А почему ему бы и не существовать?
Нет у фотона массы, так и что? Он обладает импульсом, который, в рамках СТО, согласно уравнению
E² = p²*c² + m²*c^4
при m = 0 определяется энергией:
p = E/c.
Энергия фотона, в свою очередь, равна
E = h*v,
исходя из уже не гипотезы Планка.
Так как фотон безинерционен, т. е. , его масса равна нулю, он всегда "движется" со скоростью света в вакууме, что следует из преобразований Лоренца для скорости при переходе от одной ИСО к другой.
Какое, в таком случае, существует требование наличия у фотона массы? Представите ее на суд общества?
Тем более, что фотон - квант векторного калибровочного поля (см. уточнение в конце) .

Введение в рамках теорий относительности релятивистской массы, m = E/c², в том числе - и для фотона, приводит к:
1. Тому, что векторные преобразования Лоренца применяются к скалярной величине - массе, что явно ошибочно.
2. Тому, что релятивистская масса вводится как мера инертности. Это обусловливает конечное время достижения скорости света массивным телом под действием силы F. Если
F = m(рел.) *a (в том числе и в рамках СТО) ,
то
(m/√(1 - (v/c)²))*dv/dt = F. (1)
Преобразовав (1) и взяв интегралы по времени (от 0 до t) и по скорости (от 0 до с) , можно получить
∫dv/√(1 - (v/c)²) = (1/m)*∫Fdt.
В таком случае,
П*c/2 = F*t/m => t = m*П*c/2*F.
Это также показывает, что безинерционный фотон, получается, можно замедлить или ускорить, т. е. , он начинает обладать инертностью, что еще раз подтверждает неверность введения релятивистской массы.
На самом деле, в (1) вместо релятивистской массы m(рел. ) = m/∫(1 - (v/c)²) нужно подставлять продольную
m(прод. ) = m/√(1 - (v/c)²)³, так как ускорение имеет составляющие по силе и по скорости, т. е. , релятивистская масса не может выступать однозначно как мера инертности. Ну, а вся семья масс (продольная, поперечная, релятивистская, "покоя") - бред (см. п. 1).
3. Неинвариантности силы взаимодействия массивного тела и фотона, которому приписывают релятивистскую массу.
Если ввести релятивистскую массу, то сила, действующая на фотон со стороны тела, по ОТО, будет равна
F = (-G*m*E/c²)*((1 + (v/c)²)r - (r⋅v/c))/r³,
т. е, будет разная по абсолютной величине для фотона, летящего в поле тяжести горизонтально, и для фотона, летящего вертикально (подставьте и убедитесь) .
4. Тому, что для разных типов масс из банды продольной, "покоя", релятивистской и поперечной масс законы аддитивности, а значит - и сохранения, неодинаковы. В частности, массы "покоя" тел некоторой системы в общем случае не есть аддитивными величинами, так как зависят от угла между импульсами тел:
M12 = √((E1 + E2)/c^4 - (p1 + p2)²/c²) ≠ m1 + m2,
в то время как релятивистская масса - аддитивна:
M12(рел. ) = (E1 + E2)/c² = m1(рел. ) + m2(рел.) .

А безмассовость фотона дает свои хлеба. Например, отсутствие массы у фотона обусловливает калибровочную инвариантность ЭМ поля, которая, вроде бы, не опровергается экспериментами. Также, благодаря нулевой массе фотона, радиус ЭМ взаимодействия равен бесконечности.
Да, виртуальные фотоны могут находиться вне массовой поверхности, но и тогда нельзя сказать, что они обладают какой-нибудь массой. Можно лишь сказать, что они обладают величиной виртуальности
Q = E² - p²*c²,
ибо корень от этой величины далеко не всегда положителен.

Масса движущегося фотона отлична от 0.

у фотона нулевая масса покоя, поэтому он не может находиться в покое, он всегда движется со скоростью света. если попытатся затормозить его, то он просто исчезает (поглощение) передавая свою энергию препятствию или изменяет направление своего движения (отражение, преломление).

почему он СУЩЕСТВУЕТ не известно.

Потому что он двигается со скоростью света! Вы видели когда-нибудь фотон покоящийся? То-то!

Кто сказал? E=mc^2. Фотон квант света с определённой энергией, откуда можно найти его массу.