Электрон имеет массу, позитрон тоже, но почему фотоны, получающиеся при их взаимодействии не имеют массы?

Ошибаетесь. Система из двух фотонов, которая образуется в результате аннигиляции, имеет массу - ровно ту же самую.
(Хотя масса каждого по отдельности равна нулю).

Кто сказал, что фотоны не имеют массы?

При их взаимодействии излучается электромагнитная волна ни каких фотонов не существует. Когда разговариваешь по телефону у тебя из него фотоны вылетают?

Фотон имеет массу, он не имеет массы покоя. Но фотон не может существовать вне скорости света для конкретной среды.

Масса в килограммах это пережиток Ньютона. ..с прошлого века (как только "це квадрат" нашли) её меряют в электронвольтах. И они-то ни куда не деваются.

Потому что масса и энергия есть суть одно и то же. Потому что масса - это хорошее бытовое понятие, которое в теорию гравитации и в физику высоких энергий пролезло слабо. В уравнения Эйнштейна (которые по-современному описывают гравитацию) масса вообще не входит - там тензор энергии-импульса, и этого достаточно. А как его переводить в массу - это уже кто как хочет, тот так и изощряется. Правильно говорить не о массе, а о воздействии на измерительный прибор. Мол, если чашка весов вниз - значит масса есть, хотя это и не масса, а переданный импульс или же просто давление.

Хотя со словами надо обращаться аккуратнее. Фотоны, получающиеся при взаимодействии электрона и позитрона, - это виртуальные фотоны, которые переносят-обеспечивают-описывают электростатическое притяжение этих частиц в квантовой теории поля. Ты ведь наверняка не это имел в виду. Если хотел сказать "аннигиляция", надо было сказать "аннигиляция".

Сохранения массы, строго говоря, нет. Есть сохранение массы-энергии.

фотон имеет массу