Если нагреть металлический шарик, и поместить его в вакуум, то он остынет?

Будет излучать (как и Солнце) и остынет до равновесной температуры (в тени это -270°С) .

Если взять зачернённый стальной шарик диаметром 0,5 м (масса около 700 кг, площадь поверхности около 1 м²), то он излучает при температуре 1000°С около 150 кДж каждую секунду.
Чтобы охладить этот шарик на 1°С, нужно отнять у него около 300 кДж тепла, т. е. как минимум 2540 секунд = 42 минуты он будет остывать.

P.S. На самом деле остывать он будет всё медленнее (чем холоднее шарик, тем меньше он излучает) и этот процесс займёт гораздо больше времени.

Остынет. Правда, гораздо медленнее чем на воздухе. Перенос тепла возможен не только теплопроводностью и конвекцией, но и лучеиспусканием. Например так Солнце нагревает Землю, хотя между ними космический вакуум.

в вакуум и отдаст))) ) потому что нет вакуума абсолютного)))))

Остынет. Температура уменьшится за счёт излучения. Как по вашему солнце нас греет?

Остынет. Энергию отдаст в виде излучения. И физический вакуум тут ни при чем, по большому счету.

излучит
весма бытро и если его не нагревать то остынет до обсолютного нуля

остынет, об излучении забыли

Остынет, но медленее чем в воздушной среде

Остынет, но гораздо медленней, если бы остывал на воздухе. Как говорится выше абсолютного вакуума нет и по этому шарик будет отдавать энергию излучением + молекулам которые будут находиться в сосуде.
На таком принципе работает термос, но ведь и в нём жидкость остывает, но значительно дольше чем просто в металлическом сосуде.

когда шар остывает то излучает волны в инфракрасном диапозоне те теряет энергию

не должен. передавать энергию некому. вакуум.. .