как доказать кратность кубов 3-ёх последовательных чисел девяти?

Имеется в виду СУММА кубов? --Тогда так:

(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 =
(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) =
3n^3 + 6n =
3n(n^2 + 1)

Отсюда уже видно, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел кратна трем.

Теперь дальше. Число n может или делиться на три, или давать при делении на 3 остаток 1, или давать при делении на три остаток два. Если n делится на три, то и 3n(n^2 + 1) делится на три, потому что n - один из сомножителей последнего. Если n при делении на 3 дает остаток 1, то n = 3m+1, и легко увидеть, что в этом случае сомножитель (n^2 + 1) делится на 3. В самом деле,

n^2 + 1 = (3m + 1)^2 + 1 = 9m^2 + 6m + 1 + 2 = 9m^2 + 6m + 3 = 3(3m^2 + 2m + 1).

Если n при делении на 3 дает остаток 2, то n = 3m+2, и в этом случае сомножитель (n^2 + 1) тоже делится на 3:

n^2 + 1 = (3m + 2)^2 + 1 = 9m^2 + 12m + 4 + 2 = 9m^2 + 12m + 6 = 3(3m^2 + 4m + 2).

Таким образом, в произведении 3n(n^2 + 1) как минимум два раза присутствует множитель 3. Следовательно, это произведение делится на 9.

продолжу: 3n^3+6n=3n^3+9n-3n=3n(n+1)(n-1)+9n. теперь наглядно, что при любом n многочлен делится на 9