Вводятся ли квантовые скобки Пуассона для выведения принципа неопределенности

с коммутаторами вывод проще, а так, этот принцип можно получить даже из вариационной задачи или спектральных разложений

Да, вводятся - для формального вывода принципа неопределённости из аксиоматических свойств операторов координаты и импульса. Интеграл J(alppha) в Вашей ссылке физического смысла не имеет, это математический приём. Я бы Вам рекомендовал найти в интернете неформальный вывод принципа неопределённости, впервые данный К. Гейзенбергом, он весьма интересен.

Там у Вас по ссылке немного бестолковое рассмотрение. Первый вопрос для самоконтроля, где в рассуждениях, начинающихся с (3.80), присутствуют условия <x> = 0, <p> = 0? Ответ: нигде. Второй вопрос, где в этих рассуждениях используется тот факт, что x и p не коммутируют. Ответ: явно тоже нигде. В результате, вместо доказательства общего утверждения, что для любых двух величин, неважно какой вид они имеют, справедливо соотношение неопределенностей Гейзенберга с коммутатором в правой части, получилось непонятно что.

Если хотите разобраться, посмотрите в Давыдове (Давыдов, "Квантовая механика"). Там рассуждение несложное, тоже использует этот трюк с рассмотрением интеграла от явно неотрицательной величины, но в более прозрачной форме (не нужно смотреть на дискриминанты, поскольку явно средние исключены) и доказывается куда больше.

Сам же трюк хотя и не имеет физического смысла в общем случае, однако, связан с введением взаимно сопряженных операторов. Поэтому Гоша Озеров и увидел гармонический осциллятор, что в случае рассуждения по Вашей ссылке это как раз получаются операторы рождения и уничтожения (это не так, чтобы важно было в данном случае).