Чем доказывают существование чёрных дыр? Только попроще=D

Да ничем. Попытки как то объяснить наблюдаемые эффекты. Игра цифр и воображения.

Их существование прямо вытекает из самого наличия закона тяготения. Даже если бы их существование ни разу не подтвердилось наблюдениями, оно все же предсказуемо.

If it walks, talks and quacks like a duck, it's a duck.

Хотя сами по себе чёрные дыры и ненаблюдаемы, ЭФФЕКТЫ, которые они вызывают в окружающем пространстве, вполне хорошо наюблюдаемы. И этих эффектов несколько.
Аккреационные диски. Если ЧД входит как компонент в кратную систему (двойная звезда или плотное скопление или ещё что-то такое) , то она будет перетягивать на себя часть вещества из двезды-компаньона или из окружающего пространства. Этот поток вещества, в силу закона сохранения момента количества движения, образует вращающийся диск (диск аккреции) . Свойства и поведение этого диска хорошо предстказываются. и такие объекты обнаружены.
Гравитационное линзирование. Объекты большой массы (не только чёрные дыры) искривляют пространство, а значит - искривляют и ход лучей света. То есть если такой объект находится между нами и каким-то отдалённым источником света, то для нас он будет действовать как своего рода линза (точнее, бипризма) . И мы увидим кратные изображения одного и того же объекта. И такие оптические эффекты тоже наблюдается.
Ну и самое простое: существование чёрных дыр - не единственное следствие Общей теории относительности. Все остальные выводы из этой теории подтверждаются с абсолютной точностью (в некоторых экспериментах чувствительность к "посторонним эффектам", не вписывающимся в ОТО, доходила до 10 в -42 степени, и эти посторонние эффекты обнаружены не были!) , а значит, чёрные дыры, существование которых из этой теории следует, ДОЛЖНЫ существовать.

Анализом движения звёзд, расположенных очень близко к ядру нашей галактики.

Чем? КРАСНОЙ ракетой.