Вопрос о силе гравитации

Эту задачу решил Ньютон. Именно Ньютон в одной из своих работ показал, что если мы имеем дело с шаром однородной плотности, то сила гравитации от такого шара действует так, как будто бы вся масса этого шара сосредоточена точно в его центре. Этот факт является, вообще говоря, нетривиальным и неочевидным, если мы находимся вблизи шара.
В некоторых толстых учебниках по теоретической механике приводится точное доказательство этого факта. Для понимания нужно уметь вычислять интегралы.
Я, к сожалению, сейчас не помню, кто первый решил задачу о гравитации внутри полой сферы. Кажется, в 18-м веке было доказано, что если Вы находитесь внутри массивной полой сферы с однородной плотностью, то на Вас не действует никакая сила гравитации от этой сферы, какой бы толщины не была эта сфера. Причем не важно, где Вы находитесь, точно в центре или на внутренней поверхности сферы.
Это очень нетривиальный факт. Во многих учебниках приводится доказательство этого факта. Причем это доказать гораздо проще, чем задачу Ньютона про шар. Но тоже надо знать, что такое интеграл.
Поэтому если Вы окажетесь в шахте на полпути к центру Земли, то Вы будете испытывать силу притяжения только от той части Земли, которая имеет половину радиуса. А все сферические слои Земли, находящиеся выше Вас, не будут оказывать на Вас никакого влияния.
Легко понять, что сила притяжения к центру Земли уменьшится при этом не на порядок, а только в 2 раза.
Смотрите, при движении в шахте к центру Земли, объем центральной части Земли уменьшается как куб радиуса, то есть притягивающая масса уменьшается как куб радиуса и по такому закону должна уменьшаться сила гравитации. Но при этом уменьшается расстояние до центра и сама сила гравитации должна нарастать как квадрат расстояния. Поэтому в формуле закона всемирного тяготения в числителе у Вас стоит масса пропорциональная кубу расстояния до центра, а в знаменателе стоит квадрат расстояния.
Итак сила притяжения к центру Земли падает по линейному закону, если опускаться в шахту, идущую к центру Земли.
Это тоже знаменитая задача из всяких олимпиад по физике, где требуется определить частоту и период свободных гармонических колебаний тела, которое бросили в шахту прорытую насквозь через всю Землю.

Векторы занимают всю нижнюю полусферу (относительно вас) , но их скалярные величины неодинаковы. Или можно сказать, что чем ближе направление к вертикали, тем больше векторов складываются в этом направлении. Просто разбейте земной шар условно на равные фрагменты (кубики, например) , и к каждому кубику постройте векторы тяготения, с учетом направления и расстояния до этого кубика. Все верно - интегрированием все это суммируется, совершенно классическая ситуация.
Если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре (своеобразная черная дыра как бы) , то Вы, находясь на том же расстоянии от центра, как и сейчас, испытывали бы в самом деле заметно бОльшую силу тяготения - но не в разы, а только "на проценты". Так что то, что масса распределена по всему шару, не меняет силы тяготения кардинально.

Внутри шара (под землей) - наверняка тебе кто-нибудь ответит, что сила тяжести отсутствует, или что она будет непрерывно расти до самого центра. Сразу предупрежу эти ответы. При углублении к центру Земли сила тяготения быдет равномерно убывать, и в центре будет полная невесомость.

"Ок, тогда так. . Если бы я оказался на пол пути к центру Земли, какую бы силу гравитации я испытывал? На порядок меньшую, не так ли? "
Почему "на порядок? "
Те слои, что выше (при условии, что они более-менее равномерны вдоль поверхности сферы) - уже НИКАК не притягивают (их притяжение полностью компенсируется, это же сферы, притяжение с двух сторон, это теорема Гаусса)

Так что если окажешься на полпути к центру - будет и сила притяжения такая, как от шара вдвое меньшего радиуса и соттветствующей массы!

А так как сила обратно пропорциональна КВАДРАТУ расстояния, а вот масса - КУБУ радиуса, то для шара постоянной плотности сила притяжения уменьшается с погружением ЛИНЕЙНО, и на половине радиуса будет ровно ВДВОЕ меньше
Для Земли даже не вдвое, а гдето в 1.7- 1.8 раза - у Земли тяжёлые внутренние слои и ядро и лёгкая кора... .
Вот в ЦЕНТРЕ Земли таки да, будет невесомость....

>Гравитация на поверхности Земли равна сумме векторов гравитационных сил, направленных полусферой между линиями горизонта?
да.
>В первом случае она должна быть меньше.
Почему это? Посчитай интеграл - для шара, притягивающего точку вне него, он эквивалентен центру шара, в котором сосредоточенна вся масса. А вот для сферы, внутри которой находится точка, он нулевой. Не так сложно :)

Ну вроде для нахожления силы гравитации надо брать интеграл, где как раз и суммируются расстояния и элеметрарные массы. Надо знать функцию плотности или массы от координат. Для взаимодействия двух тел вроде бы надо 6-ти мерный интеграл решать

силы разлагаем на три взаимно-перпендикулярные составляющие. сумма по оси Ох равна нулю, т. к. каждому элементу массы который тянет тело в одну сторону можно найти соответствующий, который тянет в противоположную сторону и их действия взаимно компенсируются. это следствие сферической симетрии шара. то же самое по оси ОУ. а вот по оси OZ все составляющие складываются, их равнодействующая направленна перпендикулрно поверхности шара, т. е. к его центру. величина ее такая, как если бы вся масса сосредотачивалась в центре шара. это установил еще ньютон.

Что за "полусфера между линиями горизонта", поняли, кажется, все, кроме меня. До меня не дошло :( За горизонтом земля ведь тоже есть.. .
Но это неважно. От сил, тянущих в разные стороны, остается только их равнодействующая. Так как шар симметричен, она направлена к центру Земли.
Ньютон остроумным доказательством показал, что любой шаровой слой под нами притягивает так, будто его масса сосредоточена в центре. Так что даже неравномерное распределение массы по глубине залегания вообще не должно менять силу притяжения.

...дискретная глупость, ничего такого нет, ибо дойдя до атома и далее=квантовая механика у ваших дуальных мозгов теряется причинно-следственная связь... а вашему дуальному разуму, все равно, ибо балабол на балаболе сидит и трактует едины процесс, - пустышками в дискретных формах... привет вам от Бога - Карена...

Вродебы да - а ваще про гравитацию мало ваще что мы знаем ((