допустимо ли существование стабильной двойной планеты с равными массами в солнечной системе?

Ну двойные звёздные системы с примерно равными массами компонентов известны. Так что теоретически запрета на существование таких планетных систем, из примерно равных комппонентов, нет.
Другое дело, что генезис планет несоклько отличается от генезиса звёзд. Поэтому возникновение такой кратной планетной системы в рамках современных моделей планетообразования рассматривается как невозможное - на одной орбите может образоваться только одна крупная планета (она "выметает" пространство вдоль своей орбиты, подбирая весь попадающийся стройматериал) . Значит, возникновение кратной планетной системы возможно только в результате гравитацонного захвата - но для этого планеты должны двигаться по близким орбитам, что невозможно (см. п. 1), - либо в результате столкновения. Что при сопоставимых массах вряд ли возможно без их катастрофического разрушения и образования системы с сильно разными массами компонентов (пример - образование системы Земля-Луна, образование которой, вероятнее всего, произошло именно в результате такого столкновения) .

Коммент на упомянутые примеры (двойной астероид Антиопа и система Плутон-Харон) : они, собсно, как раз и находятся в русле гравитационного захвата. Пояс астероидов - это вообще-то "недостроенная планета", которая ДОЛЖНА была бы там быть (определённая закономерность в расстоянии планет от Солнца была обнаружена ещё Тихо Браге четыре века назад, и планету между Марсом Юпитером искали целенаправленно - пока не нашли Цереру, а за ней и все остальные астероиды) . А в поясе астероидов, как и в поясе транснептуновых планет, мы имеем как раз ситуацию движения тел сравнительно небольшой массы (то есть не способных "подмести" свою орбиту) по близким траекторям.

Плутон и Харон - фактически двойная карликовая планета. Хотя они не одинаковы, но диаметр Плутона не намного больше диаметра Харона - менее чем вдвое, к тому же Харон и Плутон очень близки.

Так-то, в принципе, почему бы и не существовать?
Просто, в основном, это после гравитационного захвата или столкновения получается.
А когда массы одинаковые, то столкновение катастрофическое.

Теретически - почему бы и нет. Практически - такое отсутствует.