разве в атоме электрон может прямо вплотную возле ядра находиться?

Электрон может оказаться вблизи ядра, но ВЕРОЯТНОСТЬ этого чрезвычайно мала. Картинку, которую Вы привели, нарисовали НЕГРАМОТНЫЕ люди. Эта картинка отображает НЕ ВЕРОЯТНОСТЬ, а ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ нахождения электрона в той или иной точке пространства вокруг ядра. Различие между ВЕРОЯТНОСТЬЮ и ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ такое же, как между ПЛОТНОСТЬЮ ВЕЩЕСТВА и его МАССОЙ. Чтобы найти массу вещества мы плотность умножаем на объем. Аналогично, чтобы найти ВЕРОЯТНОСТЬ, нужно ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ умножить на ОБЪЕМ.
Допустим, мы вычисляем вероятность нахождения электрона в некотором объеме пространства на определенном диапазоне расстояний (от R до R+S) от ядра. Такой объем равен (4/3)*Пи*R^2*S. Тогда зависимость рассматриваемого объема от расстояния от ядра выражается параболой, т. е объем рассматриваемого сферического слоя пропорционален квадрату расстояния от ядра, чем дальше, тем больше, а при R->0 и объем стремится к нулю. Плотность же вероятности, которая показана на приведенном Вами рисунке (обозначается греческой буквой "кси") отображается некоей кривой, похожей ни гиперболу (простейший вариант k/R, где k - некая константа) . Вероятность нахождения электрона на данном расстоянии от ядра отобразится некоторой линией, которая начинается от нуля (при R=0), при увеличении R она возрастает до некоторого значения, затем убывает и асимптотически приближается к нулю при бесконечно больших R. Таким образом, НАИБОЛЬШАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ нахождения электрона на 1s-орбитали достигается на определенном, НЕ НУЛЕВОМ расстоянии от ядра. Например, для 1s-орбитали атома водорода это расстояние около 0,5 ангстрем (1 ангстрем=10^(-8) см или 10^(-10) м, в то время как размер ядра оценивается в 10^(-13) см или ^(-15) м. Увеличим масштаб в 10^(13) раз, тогда диаметр ядра - порядка 1 см, а наиболее вероятное расстояние электрона 500 м. Поэтому, ВЕРОЯТНОСТЬ (а не ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ) нахождения (вернее "прохождения") электрона вблизи ядра стремится к нулю, (хотя ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ вблизи ядра - максимальна) , но не равна нулю. В некоторых тяжелых атомах наблюдается так называемый К-захват, т. е. электрон, к своему несчастью оказавшийся слишком близко к ядру, поглощается ядром. При этом один из протонов, присоединяя этот электрон, превращается в нейтрон (и еще что-то наподобие нейтрино или антинейтрино, но точно не знаю, в этой области я не силен) , а атом в целом превращается в атом элемента с порядковым номером на 1 меньшим, т. е записанным в предыдущей ячейке периодической таблицы элементов Менделеева. Но такое явление бывает довольно редко, поэтому можно утверждать, что вблизи ядра электрон бывает очень редко.

вплотную не может. сила отталкивания будет бешеная.

Он может находиться не только вплотную, но даже внутри ядра :)
Для хотя бы немного знакомых с квантовой механикой - волновая функция электрона и внутри ядра отлична от нуля.

Если он в чёрной дыре.

Существуют разрешенные Боровские орбиты.

Электрон может внедрится внутрь протона. Называется такой процесс К-захват.

Да же две бетонных плиты не соприкасаются на самом деле