если взять бесконечно длинную палку и в какой угодно части ее отрезать, то останется ли палка бесконечной?

Бесконечность это понятие, а не число. Поэтому бесконечно длинная палка в жизни не может реально существовать. Какое бы вы число (n), обозначающее её длину, вы не назвали, всегда можно назвать еще большее, то есть число (n+1). И это число не будет иметь с бесконечностью ничего общего. Тем более, что в геометрии Евклида, Римана, Лобачевского в реальности концы этой палки неминуемо сомкнутся и это будет уже не палка, а бублик. Но, его окружность не будет бесконечной. а если отрежете кусок, то есть разомкнете, то длина окружности будет еще меньше. Где тут бесконечность? Нет ничего бесконечного в нашем понимании. Все имеет свой конец и свое начало.

Палка не будет бесконечной (конец-то будет!) , но останется бесконечно длинной.
В математике есть такое понятие - полубесконечный интервал. По сути - эта палка :)

Если урезать с одной стороны, то да. А с двух сторон - уже нет. Выйдет палка конечной длины. А бесконечности будут отброшены.

Да, после первого разреза бесконечной палки получатся две бесконечные палки. Исходная палка – это прямая, а полученные – суть лучи.

Возможно.
Вам следует более внимательно отнестись к математическому анализу, особенно к исследованию бесконечно малых величин.
Вот Вам ещё(вопрос не математики, а философии) :
1.малая бесконечность +1
2.большая бесконечность +1
это что? ?
:) !

хотя это и невозможно и немножко абсурдно
но если сильно не вдумываться
то да, чисто математически, она будет бесконечной

нет, будет бесконечной только в одну сторону

Да вполне бесконечность это явление такчто половина бесконечности это бесконечность