Как можно измерить площадь бесформенной фигуры?

взять определенный интеграл

нам однажды преподаватель по аналитике рассказывал про один способ. Рисуем фигуру на листочке в клеточку, аккуратно ее вырезаем, а также вырезаем единичный отрезок (одну клетку) листочка.
взвешиваем на аналитических весах фигуру - m1
и клетку - m2
m1 - X
m2 - взвесили
Х находим по пропорции
вот так

Например, палеткой.

Вы имеете в виду некую конкретную фигуру, форма которой
не описана какими-то уравнениями?
Можно разбить фигуру (приближенно) на маленькие квадратики
и сложить все их площади.
Можно поместить фигуру в квадрат с известной стороной,
набросать в квадрат много случайных точек (с равномерным
распределением) и подсчитать число Ф точек, попавших внутрь
фигуры. Отношение числа Ф к числу всех точек приближенно
равно отношению площади фигуры к площади квадрата.

САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ:
Копируете фигуру на бумагу
Вырезаете
Из того же листа бумаги вырезаете квадратик единичной площади
Взвешиваете оба кусочка
Делите один вес на другой
Но необходимы точные аналитические весы, потому таким способом (а он очень точный) обычно пользуются химики :-)

В большинстве случаев пригодна процедура "меры Жордана". Это та же палетка, но число ячеек устремляется к бесконечности.

Разные методы есть.
Если имеется в виду физико-практический, а не математический способ, можно соорудить бортики вокруг фигуры, налить жидкость в определенном объеме и разделить объем на высоту.

Есть такая вещь -- планиметр-топорик. На одном конце имеется изогнутое острие, другой конец похож на топорик. Острым концом обходишь контур фигуры, при этом "топорик" свободно скользит по поверхности. Площадь фигуры вычисляется исходя из угла поворота при полном обходе и длины планиметра.