Почему можно складывать 2 равных натуральных числа?

Всякое множество, например N, содержит каждый свой элемент ровно один раз.

Это где вы такое прочитали? Насколько я понимаю, в теории множеств вообще отсутствует понятие о числе вхождений данного элемента в множество. Т. е. множество либо содержит данный элемент, либо не содержит, а сколько раз оно его содержит - вопрос бессмысленный. Множество - это не сундук с чем-то там, откуда можно брать элементы и класть назад, это нечто, определяющее какими свойствами должно обладать что-то, чтобы быть элементом этого множества. Можете считать, что мы дважды берем один и тот же элемент из множества натуральных чисел, если вам так проще.

Нет, Зеркало, тут вы не правы.

В чём я неправ?

Ну, боже мой.. . Сложите 5 сначала с 4, а потом результат с 1 )))))

Нет, Зеркало, тут вы не правы.

Сложение - это отображение каждой пары элементов множества на один элемент множества. В пару один и тот же элемент может входить дважды. Если мы выбрали в множестве какой-то элемент, он никуда из множества не удаляется, его можно выбрать вторично. Хотя имеется он в множестве только один раз.
P.S. Элемент мог бы входить в множество и несколько раз, тогда это уже называется не множество, а мультимножество.

Если подходить к определению строго, то да - "клонируется". Бинарные операции определены на прямом (декартовом) произведении множеств.

+: N x N -> N - операция "+" отображает прямое произведение множеств на само множество.
+: (n, m) -> k, где n,m,k принадлежат N - операция "+" каждой паре натуральных чисел сопоставляет третье натуральное число.