Уравнение Шрёдингера

Фраза "Стационарное уравнение" означает, что решением этого уравнения будут такие состояния, в которых энергия сохраняется, а система находится в каком-то таком состоянии, которое является суперпозицией состояний с точными значениями энергии. Стационарность означает, что вклад каждого состояния, с точным определенным значением энергии, остается фиксированным и не меняется.
Все эти состояния, с точным фиксированным значением энергии, можно найти решая уравнение Шредингера на собственные состояния и собственные значения. Собственные значения и будут точными значениями энергии в этих собственных состояниях.
Если Вы знакомы с классической механикой, то аналогом является волновое уравнение для струны конечных размеров. В такой струне есть собственные колебания струны. Это когда на длине струны укладывается целое число полуволн. Эти решения называются гармониками. Они нумеруются волновыми числами N=1, 2, 3, ..которые показывают число полуволн на длине струны. Каждому значению волнового числа соответствует некоторое значение энергии (для единичной амплитуды) . Чтобы найти все гармоники и энергии, которые соответствуют этим гармоникам, надо решать волновое уравнение на собственные состояния и собственные значения с граничными условиями для закрепленной струны. А в общем случае, любые линейные колебания струны представляют собой некоторую суперпозицию разных гармоник. Вклад энергии каждой гармоники зависит от начального отклонения струны от положения равновесия и начальных скоростей.
В атоме водорода всё примерно также, только там колебание совершает волновая функция в трехмерном пространстве, поэтому у неё не одно, а три волновых числа. И гармоники там соответствуют симметрии задачи, которая задается потенциальной энергией. А уравнение Шредингера это частный случай волнового уравнения.

Берём стационарное уравнение Шередингера, сначала находим собственные значения оператора Гамильтона, т. е. значения энергии в собственных состояниях и собственные вектора этого же оператора, т. е. волновые функции собственных состояний и только после этого находим распределение верояностей нахождения электронов. Вот это распределение и есть орбитали.

Короче говоря, полная энергия электрона в атоме, это одно из собственных значений Гамильтониана.

Из этого уравнения находят вероятность нахождения электрона в разных точках внутреннего объёма атома, причём измерение пространства с помощью трёхмерной системы координат приводит к возникновению трёх квантовых чисел, которые характеризуют состояние электрона.