что такое асимтота простым доступным языком и для чего она, и как она появляется и для чего? какая ее связь с графиком

У некоторых функций есть ветви, которые асимптотически стремятся к некоторой прямой. Либо при стремлении х к - или + бесконечности, или при стремлении к какой-то точке. Асимптотически - значит приближается к ней всё ближе и ближе, но не совпадает с ней до конца. Однако приближается бесконечно близко. Возможно, она никогда не пересекается с графиком, но может и пересекаться.

Например - f(x) = 1/x. f(10)=0.1, f(100) = 0.01, f(1000) = 0.001 и так далее. График бесконечно приближается к g(x)=0 (при х-> беск. ) Но для любого конечного x: f(x)>0. График никогда не пересекает ось х, но, очевидно, подходит к ней бесконечно близко. Это пример горизонтальной асимптоты.

Пример вертикальной асимптоты - график функции f(x)=1/(x-3). При x->3 f(x) становится всё больше и больше - стремится к вертикальной линии х=3.
(Кстати у этого графика на бесконечности всё та же горизонтальная асимптота f(x)=0.

Асимптота может быть наклонной. Например функция вроде f(x) = (3x^3+2x^2-x+3)/(2x^2 -15x+10)
У него есть вертикальные асимптоты, а вот при х-> бесконечности график функции стремится к (3/2)*х. (Если вы не проходили такие пределы, то поверь мне на слово, что это так. ) Это значит, что с некоторого момента график функции начинает стремиться к прямой g(x)=(3/2)*x. Бесконечно приближается к ней.

Как это выглядит на графиках хорошо видно по ссылке в вопросе и в одном из ответов тут.

Появляется она при взятии предела от функции в особых точках и на бесконечности. Если в особой точке (например нуль в знаменателе) функция стремится к бесконечности - будет вертикальная асимптота. Если при стремлении х к бесконечности функция стремится к линейной функции - будет наклонная асимптота. В частном случае - горизонтальная.

А используется это для правильного построения графика функции.

На самом деле тут написано всё то же самое, что по ссылке на википедию в вопросе. Просто явно не написано слово "предел" и значок lim. Так что учись читать подобные тексты.

>^.^<

Это линия, которую график никогда не пересечёт,
хотя будет к ней приближаться.

Надеюсь, что из этого рисунка будет понятно:

Асимптота может быть под любым углом (в том числе горизонтальна или вертикальна) . В случае вертикальной асимптоты она может находиться "посередине" функции в её разрыве, пример такой функции - гипербола.

Хм.. . Попробую ))))
В общем, асимптота - эта некая прямая, к которой функция может стремиться, но никогда её не достигнет. Часто асимптоты появляются у функций, имеющих неустранимый разрыв 2 рода, т. е. функция стремится к какому-либо числу или к бесконечности.
Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и диагональные.

асимптотой может быть не только прямая а и круг, например, для некоторых спиралей.

асимптота - это прямая, параллельная осям, не пересекаемая графиком. График, гипербола, например, бесконечно стремится к асимптоте, но никогда ее не коснется. Асимптота - это прямая, на которой для функции нет решений.