Можно ли вектор назвать функцией?

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта можно использовать для любой счетной (или конечной) линейно независимой системы элементов произвольного гильбертова пространства (пространства со скалярным произведением) , в том числе функционального.

Коротко говоря, ответ на Ваш вопрос: да, если задано скалярное произведение функций. Оно совсем необязательно совпадает с интегралом от произведения двух функций, надо смотреть, какое задано Вам. Результат ортогонализации - полученная ортонормированная система, - будет зависеть именно от этого.

Если Ваш вектор есть для Вас величина переменная, то встаёт вопрос, как он изменяется.
После того, как Вы точно опишете законы изменения вектора по длине и направлению в зависимости от какой-то независимой переменной (например, время или положение начальной точки вектора в пространстве) , тот неумолимо станет ясно, что вектор - функция.

Необходимо отметить главное достоинство векторного метода - сложение, умножение вектора на скаляр, скалярное произведение векторов и векторное произведение векторов, в общем все векторные операции в векторной системе обозначений записанные - не зависят от избранной системы координат, она может быть даже косоугольной или полярной. .

Дело немного усложняется при разложении вектора на составляющие по единичным ортам избранной неподвижной или подвижной системы координат. но всё равно, векторные произведения автоматически упрощаются из-за независимости ортов. Операции дифференцирования также просты и наглядны при их изображении.

Матричные методы, особенно в трехмерной системе чрезвычайно полезны и просты, система программирования MATLAB предоставляет огромный и точный аппарат современной математики,
для диалоговых операций с векторами и для автоматически выполняемых программ исследования.

Да, можно. Только взамен скалярного произведения для функций f1(x), f2(x) используют интеграл (по заданному интервалу или прямой) от произведения f1(x)*f2(x). Норма функции - интеграл от квадрата. Во всём остальном соотношения остаются такими же.

Да, векторы образуют вектор-функции

Вообще, сила, например, векторная величина. Сила измеряется по формуле: F= m a. Если масса постоянна, то это выражение можно представить в виде : у=к х.