Неопределенность направленности нулевого вектора. Правда или нет?

|A| + |B| cos(alpha)=0.
Рассмотрим 2 решение:
cos(alpha)=- |A|/|B| и подставив в исходное уравнение, получим, 0=0, значит решение неверное.

Начиная с этого момента ничего не понял. В какое исходное уравнение вы это подставляете и как получаете 0=0? Данное уравнение просто предельно ясно говорит, какой угол должен быть между векторами A и B, чтобы их сумма была перпендикулярна вектору А. Ясно, что длину вектора B можно выбирать произвольно, при условии, что эта длина будет ≥|A|, иначе косинус получится <-1. Если |B|=|A|, то угол между ними будет равен π, т. е. они будут противонаправлены и равны и их сумма будет равна нулевому вектору, если же |B|>|A|, то их суммой будет вполне определённый ненулевой вектор, перпендикулярный вектору A.
А что до того, что нулевой вектор действительно перпендикулярен и параллелен любому вектору, так это правда. См. ответы выше.

и что? перпендикулярность в векторных пространствах означает, что скалярное произведение равно нулю. Нуль всем перпендикулярен. и параллелен

A С =|A| |С| cos(a) = 0 (т. к. |A|=0) => угол между векторами определить невозможно, направление нулевого вектора не определено

Дальше:
C = A+B
|C| = |A| + |B| = |B|
И т. к. длины B и C совпадают, то B=C (проверить можно сложив векторы по правилу треугольника)

|A| |A| + |A| |B| cos(alpha) = 0; - выполняется всегда => не зависит от значения косинуса

|A| + |B| cos(alpha)=0.
Рассмотрим 2 решение:
cos(alpha)=- |A|/|B| и подставив в исходное уравнение, получим, 0=0, значит решение неверное.
Т. е. получается, что нужно добавить вектор В любого направления, чтобы они были перпендикулярны

И достаточно умножить любой вектор на 0, чтобы он стал параллелен нулевому.. .
Тогда нулевой вектор будет и параллелен, и перпендикулярен одному и тому же вектору, то есть - опять же направление не определено.

Любой вектор имеет направление и показыватся это на чертеже. Алгебра которую написали ничего общего с вектором не имеет, поэтому разговор вести бессмысленно!

Вектор направлен перпендикулярно плоскости.

Все правильно Вы посчитали, только с выводами поторопились.

Давайте посмотрим на выражение

cos (alpha) = - |A|/|B|

повнимательней. Из него следует, что, во-первых, |B| должен быть больше, чем |A| (за исключением одного случая, который сейчас станет ясен) , а, во-вторых, угол должен быть в диапазоне от pi/2 до pi. Итак, для каждого направления существует такой вектор В, который при добавлении к А даст вектор, перпендикулярный А. И это правильно.

В самом деле. Представим В как сумму двух векторов, один из которых параллелен А, а второй перпендикулярен

В = а А + С,

где а - число, а С - вектор, перпендикулярный А. При сложении А и В компонента вдоль А должна исчезнуть, так что а = -1, получаем что искомых векторов много и все они представимы в виде

В = -А + С

Изменяя длину С получаем различные углы между А и В в соответствии с алгебраическим решением. Случаю |C| = 0 соответствует А + В = 0, т. е. нулевой вектор. В смысле определения перпендикулярности через скалярное произведение он, действительно, перпендикулярен (и параллелен) любому вектору. Его направление естественным образом не определяется. В каких-то ситуациях это может представляться абсурдом (тогда его случай надо оговаривать особо) , а вот в каких-то, наоборот, оно избавляет от искусственных сложностей.