почему линия нулевого уровне перпендикулярна вектору-градиенту?

Вообще-то, любая линия уровня какого-то параметра перпендикулярна вектору изменения этого параметра измерения, проведенного в данной точке этой линии и направленного в сторону увеличения параметра, а не только линия нулевого уровня. Я специально записал нечто, сродни твоему вопросу, но в русских терминах. И вот почему. Градиент - изменение параметра, например, температуры. Или давления. Или напряжённости электрического поля. Направление его вектора принято в сторону увеличения этого параметра. линия уровня - она же - эквипотенциальная линия, то есть, линия, представляэщая собой множество точек с равным значением измеряемого параметра. Нулевая - та, от которой (от значения параметра на которой) ведётся отсчёт изменений этого параметра. Ну и, сама посуди, в какую ещё сторону, может изменяться параметр, как не перпендикулярно этой линии. И опять, до какого-то дискретного измерянного значения. Чем чаще измерения, тем меньше шаг изменений, называемый итерацией. В пределе начало измерений - точка. А от неё любое начало изменений - перпендикуляр к ней. Классический пример - это вопрос, в какой точке Земного шара нет ничего, кроме Юга? Естественно, это на Северном полюсе. И, ведь, куда не посмотри - везде перпендикуляр к сошедшим в точку параллелям! Так и везде, где есть параметрические изменения с расстоянием от начала измерений.

Вообще градиент функции f(x,y,z) в точке М перпендикулярен к поверхности f(x,y,z)=C постоянного уровня, проходящей через эту точку.
Линия постоянного уровня лежит на поверхности постоянного уровня и поэтому она перпендикулярна к градиенту. Линия нулевого уровня - частный случай линии постоянного уровня.

ЛДиния нулевого (или какого угодно ещё, но ПОСТОЯННОГО) уровня перпендикулярна градиенту по определению.
Но можно это понять и на пальцах. Градиент есть направление наиболее быстрого изменения значения функции. Изменение вдоль любого другого направления можно сосчитать как градиент умножить на косинус угла между выбранным направлением и градиентом. Для плоскости постоянного уровня изменение, ясное дело, равно нулю. Значит, и косинус угла между этим направлением и градиентом равен нулю.
Ну и для какого угла косинус - ноль?