Почему векторное произведение (ВП) перпендикулярно обоим перемножаемым векторам (В)?

Векторное произведение векторов не является настоящей математической операцией в том смысле, что в отличие от других математических операций оно не имеет однозначную обратную операцию. То есть это формальная операция, которая первоначально была придумана для введения понятия аксиальных векторов (момент вращения, магнитный момент и т. п.) , то есть псевдовекторов.
Геометрический смысл этой операции - это площадь параллелограмма, образованного двумя векторами. От порядка этих перемножаемых векторов зависит знак этой площади, плюс или минус. А никакого вектора тут нет. Для удобства было такое произведение решено представлять псевдотензорами. Размерность псевдотензора зависит от размерности рассматриваемого пространства.
В двумерном пространстве векторным произведением двух векторов является псевдоскаляр (псевдотензор нулевого порядка) , то есть число, которое меняет свой знак при отражении в зеркале.
В трехмерном пространстве - это псевдовектор или, по другому, аксиальный вектор (псевдотензор первого порядка) . Аксиальные вектора меняют свое направление при отражении в зеркале (магнитный момент, момент вращения и т. п. )
В четырехмерном пространстве - это псевдотензор второго порядка (грубо говоря квадратная матрица, некоторые элементы которой меняют знак при отражении пространства в зеркале) .
В пятимерном пространстве, соответственно, псевдотензор третьего порядка (кубическая матрица) .
И т. д.

Векторное произведение это "придумка" такая. Взяли и решили - если есть два вектора, то назовем третий перпендикулярный им обоим и равный по длине произведению их длин на синус угла между ними. Вот поэтому он и перпендикулярен им. Это первый ответ не из векипедии. А какая разника в четырех мерном или трехмерном. Тут все просто два вектора всегда лежат в двухмерном, а третий -ВП (не ВВП!!! ) всегда в третьем измерении. . А Четвертое нам и не нужно. Мы даже не знаем куда оно направлено (его вектор) . Так что тут оно нам без надобности, поскольку эти три вектора всегда будут лежать в трехмерке. Это ответ на второй вопрос. Вот с двухмерным сложнее. Поскольку если есть два разных вектора, то чтобы третий был перпендикулярен и первому и второму одновременно, то здесь это не получится. В двух мерке эта "придумка" "не прокатывает". Поэтому в двухмерке векторного произведения быть не могет. Нужно придумывать свою "придумку" Вот, если попроще, то как-то так. И наконец, а что так уж избегать энциклопедий. Это-то более надежно будет, чем майловый треп непрофессионалов, которые наплетут с три короба и че с них взять. Верить им или нет?