Какими должны быть три линейно-независимые вектора, чтобы нашелся вектор, который нельзя по ним разложить?

Зря смутился.
Из того, что векторы линейно независимы вовсе не следует, что они образуют базис -
их может быть просто недостаточно для того,
чтобы любой вектор заданного пространства мог быть по ним разложен...

Именно. В твоем определении из двух пунктов не указано число векторов. Поэтому присутствует пункт 2. Таким образом скромно обошли стороной вопрос размерности пространства.

Векторы (0, 0, 1), (0, 1, 0), и (1, 0, 0). Любой вектор вида (a, b, c) можно по ним разложить. Например вектор (0, 0, 0, 0, 1) - нельзя, но это вектор другого пространства. Все зависит от терминологии - считать ли этот вектор вектором.

насколько я посню, эти три вектора не дожлны образовывать базис.... *чешу репу*

Нет, в трёхмерном пространстве любые три линейно нез. вектора будут базисом, т. е. любой другой вектор пространства может быть по ним разложен. Это и означает, что размерность пространства три, как ты увидишь из дальнейшего курса.. .
А вот два вектора могут быть линейно независимыми в трёхмерном пространстве, но будет существовать вектор ( находящийся вне плоскости, проведённой через эти два) такой, что он не может быть разложен в линейную комбинацию нашего набора из двух векторов. Значит никакой набор из менее чем трёх лин. независимых векторов в трёхмерном пространстве не может быть базисом.