Вектор, Координаты вектора - объясните пжлста

A и B, которые вы указали, - это точки. Они показывают конкретные места в пространстве (на плокости).
А вектор AB показывает, как надо сместиться из точки A, чтобы попасть в точку B.
В векторе не содержится информация о том, от какой точке он отложен. Он содержит информацию только о "смещении". То есть о величине смещения и о направлении. Чтобы не путать координатную запись вектора и координатную запись точки, обычно ставятся разные скобки:
A = (2; 0)
B = (1; 2)
AB = {-1; 2}
Вы верно подметили сходство точки и вектора. Точку тоже можно задать вектором. Например, чтобы попасть в точку A, можно сместиться из точки (0, 0) на вектор {2; 0}.
Тогда вместо точки A можно рассматривать вектор A, отложенный от нуля, координаты которого будут совпадать с координатами точки A (так называемый радиус-вектор точки A).

В данном случае начала всех векторов (включая и вектор АВ) - это начало координат О. Вектор АВ -это разность векторов: В-А. Сначала на векторном треугольнике построй данный вектор, потом переведи его начало в точку О. Увидишь, что координаты конца вектора АВ определяются разностями, указанными в начале вопроса.

Векторы бывают фиксированные, скользящие и свободные.
Иногда используются скользящие векторы, да и то для нахождения плеча вектора.
Векторная алгебра имеет дело только со свободными векторами. Т. е. от вектора требуется только его длина и направление. А это значит, что начала всех векторов можно перенести в начало координат и рассматривать только радиус-векторы.

Вы можете рациональное число задать дробью 1/2, а можете то же самое число задать дробью 2/4.
А теперь представьте себе язык, в котором вместо слова "дробь" и словосочетания "рациональное число" используется одно и то же слово "слон".
Вот такая дичь происходит в школьной программе с советских времен, но только не со слонами, а с векторами.

Сначала вы определяете вектор как направленный отрезок, потом даете определение равенства векторов, потом говорите, что равные векторы задают свободный вектор, и в дальнейшем все векторы вы будете полагать свободными (и называть их просто векторами).

Направленные отрезки, которые можно получить друг из друга параллельным переносом, задают один и тот же свободный вектор.

Координаты вектора, сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов - все эти темы касаются свободных векторов, привыкайте их называть просто векторами.