Что такое вектор, объясните, пожалуйста. (геометрическое определение мне не нужно, наелся я уже направленных отрезков)

А в школе только "геометрические векторы" и бывают. Не нравятся направленные отрезки - определяй геометрический вектор через преобразование параллельного переноса, так тоже кто-то делал из авторов школьных учебников.

Прикол в том, что как бы ты эти векторы не определил, делать-то с ними ты будешь все равно одно и то же: складывать, умножать на число. Иногда еще вычислять скалярные произведения и работать с координатами векторов.

Вектор - упорядоченный набор чисел. Всё.
Когда с этим освоитесь, можно переходить к абстрактному пониманию на уровне "вектор - элемент линейного пространства".

Если очень просто...
Ты понимаешь что такое отрезок? Это просто часть прямой, которую отрезали.
Представь длинную верёвку, какую-то часть ты вырезал из неё (кусочек). Этот кусочек имеет длинну. Теперь одну часть прибей гвоздём к деревяшке. Будем считать что это начало этого отрезка верёвки. Теперь другой конец ты можешь натянуть и вращать его вокруг. Будем считать что это конец этого отрезка верёвки. Он может быть направлен в разыне стороны (например вверх, вниз и т. д.).
Вот вектор - это просто отрезок, который имеет длинну и направление (начало и конец). Всё.
Зачем он нужен, этот направленый отрезок? Просто, чтобы мы могли его использовать, например, для описания силы, её величины (длинна) и направления.
Когда действуют две силы в разные стороны, то они могут складываться по опередлённым геометрическим законам. Например, если одна сила действет вдоль, а другая перпендикулярно, то они не будут складываться, т. к. действуют в различных направлениях...

Определение - направленный отрезок.

Возьми в руку любую палку, ручку или что-то подобное. Один конец, который у тебя в руке, будет началом вектора, а тот, что направляешь куда-либо будет концом вектора :)