Вопрос про векторы.

"Почему образованный вектор перпендикулярен плосокости двух векторов" - как раз понятно. По определению. Вот так ввели определение этой операции.
Почему ввели именно такое определение - уже другой вопрос. Просто ТАКОЕ определение векторного произведения хорошо подходит для описания ряда физических явлений. Например, сила, действующая на проводник с током, помещённый в магнитное поле, перпендикулярна как направлению тока, так и направлению поля, и по величине пропорциональна как току, так и полю. Ну чем не векторное прозведение.. . Или вот момент импульса вращающегося тела - это тоже векторное произведение радиус-вектора материальной точки (относительно оси вращения) на импульс точки.
Так что именно такой вид векторного произведения продиктован жизнью, можно сказать...

давайте лучше на примерах.. .
скалярное произведение: если у нас один вектор единичный, то это - длина проекции второго вектора на направление первого. Если не единичный - еще и умноженная на длину первого. простейший пример: работа силы A=F*dS, F - сила, dS - перемещение, умножение - скалярное.

векторное - у нас в физике есть примеры векторов, зависящих от перпендикулярных векторов. Например, всякиетам "правила буравчика.

или вот удобный пример еще: сила Кориолиса 2m (VxW), V - лин. скорость, W - угловая.
Тут угловая численно углу в секунду, а направлена по оси по правилу буравчика.

О физическом смысле умножения векторов говорить трудно, так как это математика, а не физика.
Математическая природа скалярного произведения в том, что это инвариант, который можно линейно образовать из пары векторов. Инвариант (скаляр) - это число, неизменное при переходе к другим координатам.
Векторное произведение - тоже инвариант, но не вполне: оно меняет направление при зеркальном отражении осей координат. Результатом векторного произведения является так называемый аксиальный вектор (псевдовектор) , который на самом деле является антисимметричным тензором 2-го ранга.
Природа векторного произведения состоит в том, что это площадь, построенная на исходных векторах, с учетом ориентации нормали к лицевой стороне.

На самом деле под операцией "произведение" или "умножение" может подразумеваться абсолютно любая операция, отвечающая за образование группы. В определении группы (см. поисковиком) даны аксиомы, которые требуются от операции "умножение".
Например сложение тоже подходит под операцию "умножение" там есть нейтральный элемент "0", есть обратный элемент, способ раскрытия скобок - ассоциативность. Это так называемая аддитивная запись в теории групп.
Умножение в обычном понимании даёт мультипликативную запись в теории групп.
Ну и т. д: скалярное произведение, векторное произведение ...
Проще - так договорились.

Направление вектора Пойтинга - направление потока энергии электромагнитной волны определяется как векторное произведение Е и Н. Есть и много других примеров.