Пусть в р-V диаграмме представлен произвольный термодинамический процесс с газом. Как известно, абсолютное значение...

при изотермическом процессе T1=T2=const изменение внутренней энергии равно 0. dU=(m/M)C(v)*dT, но dT=(T2-T1)=0. поэтому вся теплота подводимая к газу расходуется на совершение работы против внешних сил и равна упомянутой в условии площади.

dU = dQ - P*dV (1)
Возьмём в качестве термодинамических параметров давление и объём.
Считая, что dQ=T*dS, выразим dQ через P и V:
dQ = T*[ (dS/dP) * dP + (dS/dV) * dV]
Разумеется, речь идёт о частных производных энтропии по давлению и объёму.
Подставляем в (1):
dU = T * (dS/dP) * dP + T * [ (dS/dV) - P] * dV
Обозначим:
Fp(P,V) = T * (dS/dP), Fv(P,V) = T * [ (dS/dV) - P], т. е.
dU = Fp * dP + Fv * dV (2)
Ну и всё. Берём произвольный термодинамический процесс 1-2. Определяем вид функций Fp и Fv для этого процесса. Интегрируя (2) вдоль 1-2, получаем:
U2-U1 = Int(1-2, Fp*dP) + Int(1-2, Fv*dV),
где, например, Int(1-2, Fp*dP) - интеграл от Р1 до Р2, взятый от функции Fp.
Ну, а эти интегралы и есть площади в P,V - диаграмме.

P.S. Ну и, конечно, поскольку Fp и Fv зависят от двух переменных, то при вычислении интегралов надо знать связь между P и V в термодинамическом процессе 1-2 - чтобы, например, при взятии интеграла от Fp по P, выразить V через P. Понятно, что искомая связь определяется термодинамическим процессом 1-2 и является известной.