в глубоких шахтах, а лучше пещерах под горой, притяжение меньше чем на поверхности? насколько?

На глубине 5000 м поправка к g составит 5/6400 (g уменьшится) ;
равна Δ = 8*10^(-4)
Пусть гора m = 5000 м^3 c плотностью 5 000 кг/м^3, масса 25 *10^6 кг
Δ1 = γ*m/s^2 (s = 7500 м)
γ = 6.67*10^(-11) н*м^2/кг^2;
Δ1 = 2*10(-7);
Гравиметром замерить можно :
Относительная погрешность определения g гравиметром ~10−7 — 10−9.

http://gravimetr.com/
( g растет от нуля в цетре земли, практически линейно, до g на поверхности, влияют только внутренняя масса ,
верхние слои компенсируют друг друга)

грубо говоря - линейно от расстояния.
то есть глубина в 1 км повлияет на 1/6400 часть. Замучаешься померить такую мелочь. Хотя.. . Маятником за сутки секунд 10 наберется.

В глубоких шахтах притяжение МЕНЬШЕ. В пещерах притяжение, скорее всего, такое же, потому что пещеры не обязательно глубокие "вглубь", сиречь по вертикали.

Для тех, кто в танке: при приближении к центру Земли притяжение УМЕНЬШАЕТСЯ, потому что притиягивает только та земля, которая под вами. Свидетельством чего служит хотя бы тот факт, что в центре Земли притяжение равно нулю - притяжение во все стороны действует одинаково и поэтому компенсируется. Не поленитесь найти книжку Я. Перельмана "анимательная физика", она есть в формате djvu, - там этот вопрос подробно рассматривается.

сила притяжения, да будет вам известно, обратнопропорциональна квадрату расстояния.

возьмем произвольную точку А на расстоянии r к от центра земли. эта точка находится на сфере, которая делит земной шар на две части: сферический слой толщиной (R-r), где R - средний радиус земли и шар радиуса r . в силу симметрии суммарное действие силы тяжести со стороны всех элементов сферического слоя на точку А равно 0, а суммарное действие всех элементов шара равно силе тяжести точечного тела массой m=V*po=4pi/3*r^3*po, где ро - средняя плотность шара. тогда ускорение свободного падения в точке А равно g(A)=GM/r^2=(4G*pi/3)*po*r. сила притяжения действующая на тело массой m в точке А равна F=g(A)m. отсюда видно что чем ближе тело к центру земли тем меньше сила притяжения. она так же зависит от плотности залегающих пород. насколько? посчитай сам по формуле.

почти все отвечающие тут допускают в своём ответе грубую ошибку - считают, что земля - равномерно плотный шар. из-за неравномерной плотности вещества земли функция силы притяжения планеты будет приблизительно такая:
спуск в рамках пределов, где копают шахты - притяжение чуть больше, чем на поверхности
спуск ниже, в магму - приближённо линейно от расстояния убывающая сила притяжения, обращающаяся в ноль в центре планеты

Если взять идеальную модель - земля шар, плотность везде одинакова, гравитационным влиянием небесных тел пренебрегаем, массу наблюдателя не учитываем, то с погружением вглубь Земли, сила притяжения уменьшается линейно, а не пропорционально квадрату расстояния, как про движении ввысь. Если таки доберётесь до центра Земли, и там будет пустота, то в идеальном случае, просто зависнете в центре.

если сравнить радиус Земли 6300 км и глубину самой большой пещеры или шахты (1-2-3 км) то это сотые доли процента...

Для этого существуют приборы гравиметры.
Залазите с ним в шахту под гору - и смотрите.
Зависит даже от расстояния до экватора, поскольку она таки вертится!

ЗЫ. В центре планеты - невесомость

Чем ближе к центру земли, тем притяжение больше!

Ядро земли вероятно более плотное, чем его поверхность (точно сказать не могу, лень лезть в словари, но уверен что так и есть) , поэтому при погружении внутрь Земли, вы будете не только лишаться доли притяжения но и приближаться к главном источнику Земной гравитации - его ядру, и какое из этих двух изменений пересилит - не известно, вполне вероятно что гравитация до поры до времени будет только расти. как она растет при приземлении самолета.
- - --- --- -
Вот нашел такую инфу в одном из рефератов:
Ускорение силы тяжести в Земле не изменяется скачком. До глубины 2500 км оно отклоняется от значения 10 м/сек менее чем на 2%, на границе ядра равно 10,7 м/сек2 и далее плавно убывает до нуля в центре Земли.

Так что в шахтах притяжение сильнее, но незначительно: самая глубокая шахта мира - Тау-Тона, в настоящее время месторождение вскрыто до глубины 3,9 км, а добыча ведется в пределах 2,3 - 3,595 километра, что далеко до 2500 км.