БЕЗ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА как понять где максимум, а где минимум функции на пальцах , подоступнее на примерах НЕ ГРАФИЧЕСКИ

Рассмотрим, что происходит при подходе к максимуму, если идти к нему в сторону возрастания аргумента. Поскольку это максимум, то при подходе к нему функция возрастает. Это значит, что производная слева от максимума будет больше нуля. В максимуме производная равна нулю, а после прохождения максимума функция начинает убывать. Значит, производная будет меньше нуля. Таким образом, переваливая через максимум, производная меняет знак с плюса на минус. В минимуме производная наоборот будет меняться с минуса на плюс. Если же у нас ступенька и экстремума нет, то производная должна сохранять знак при прохождении точки подозрительной на экстремум.
Если есть хороший слух, то в качестве примера максимума можно привести повышение тональности с последующим ее понижением. В момент, когда тональность перестает повышаться как раз и будет максимум. Аналогично при минимуме. Сначала будет понижение тональности с последующим повышением. Если бы у меня был слух, то я бы смог привести примеры музыкальных композиций, но, к сожалению, мне медведь на ухо наступил и поэтому боюсь ошибиться в выборе нужных :)
Также в качестве примера максимума можно привести возрастание и убывание звука при приближении и последующем удалении источника звука (не путать с акустическим эффектом Доплера)

Отвечаю Вам, по сути комментируя ответ Дмитрия Кузнецова. В институте, решая учебные "задачки на графики", мы ведь не строим график "по точкам". Мы берём только несколько очевидных, легко вычислимых значений и наносим их на график, а затем вписываем функцию в эти точки, проверяя максимумы, минимумы и асимптотику именно так, как это рекомендует Дмитрий. Мне понравилось его определение "точки перегиба" как "полочки". Очень внушает! Всё, что он описал называется "исследованием функции" во время (и для) построения её графика. Самое интересное во всём этом то, что математический анализ не вводит нигде понятие "график функции" как точное понятие. Он по сути является вспомогательным, не формальным средством для лучшего понимания математического анализа.

Ну, очень просто. Надо понять где крутизна становится нулевой - в этих местах либо пик либо дно. Крутизна это производная функции. После этого надо определить что это - минимум, максимум, а ещё бывает просто полочка! Для этого надо прикинуть значение функции в точке предполагаемого минимума/максимума и слева и справа.

Либо можно взять вторую производную и посмотреть её знак в этой точке: если + значит максимум, если - значит минимум.