Нагреется ли магнитопровод (сердечник) если постоянный ток в катушке НАЧАТЬ увеличивать?

Нагрев будет - но им можно принеберечь.
Ленчик несет чушь - токи Фуко в металле при такой частоте могут возникнуть лишь на поверхности - так как металл не радиопрозрачный материал. И курицу греет ТРЕНИЕ молекул под действием электрического поля.

При изменении тока в катушке - любом изменении, росте или уменьшении, безразлично - в сердечнике будут возникать токи Фуко. Чем быстрее меняется ток в катушке, тем более сильные буду токи в сердечнике. Чтобы сердечник нагрелся, нужно менять ток в катушке резко, часто и долго. От одного-единственного изменения никакого нагрева не заметишь.

Любое изменение тока создает магнитное поле. При равномерном увеличении тока магнитное поле будет тоже меняться. Изменение магнитного поля создает в сердечнике ЭДС, а она - ток, нагревающий сердечник (если он может проводить ток) . Правда, при изменении тока в одну сторону сердечник войдет в состояние насыщения, так и не успев заметно нагреться.

сердечнрик греться не будет катушка будет а потом сгорит

А разобраться просто.
Электромагнитная индукция возникает в ПЕРЕМЕННОМ магнитном поле.
Вот микроволновка.
Энергия небольшая, но частота очень большая, а значит большая электромагнитная индукция в ПРОВОДНИКЕ. Курица - проводник, в тканях живого организма ток протекает свободно, этот ток (так называемый ток Фуко, и нагревает курицу.
Если сердечник поместить в микроволновку, то токи Фуко мгновенно его раскалят, вплоть до взрыва и пожара.
А медленное изменение тока по обмотке вызовет медленное изменение магнитного поля и вызовет очень малые, практически незаметные индукционные токи. Вряд ли они смогут что-то нагреть.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Вих ревые_токи
А Ленчик неправ