Вопрос по элементарным функциям

Вы правы. Не только e(x^2), но и sinlnx, (sinx)^lnx и прочее являются элементарными функциями (ни Василий, ни Алексей не обратили внимание на слово "композиция" в определении таких функций). А вот ИНТЕГРАЛЫ от них ДАЛЕКО не всегда бывают элементарными функциями (ПРОИЗВОДНЫЕ - всегда элементарные функции).
Впрочем, понятие "элементарная функция" в известном смысле условно. Когда изучили досконально логарифмы, ввели и его в элементарные функции. Не исключено, что через какое-то время, скажем, и эллиптическую, и вероятностную ( интеграл от e^(x^2) по dx) функции введут в этот перечень, присваивая им какие-нибудь удобные названия , как это сделали, например, с тангенсом и логарифмом.

Никакой четкой границы по математическим свойствам между элементарными и неэлементарными функциями не существует. Это чистая условность. Просто договорились, что такой-то набор функций для удобства будем называть элементарным.
Пошло это из очень далеких времен, когда те, функции, которые изучали в школе, стали называть элементарными, а все остальные функции стали называть функции высшей математики. Это разделение придумали не математики, а в министерстве образования. Им так было легче. Потом в школах начали изучать более расширенный набор функций. И возникла путаница. Министерство не требовало строго придерживаться данной терминологии. А математики рекомендуют отказаться от этой терминологии.

Возведение в степень, извлечение корня - НЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
НУЖНО - ТОЛЬКО арифметические.

синус - не арифметическая операция. . и не раскладывается в конечном базисе из арифметики.... +-(/ *)