ДОГМАТ о неистощимости сил природы (сохранении энергии) — откуда он взялся в физике? Почему физики в это поверили?

Роберт Майер руку приложил. А поверили потому, до сих пор НИКТО НИ РАЗУ не доказал обратное...

Допустим, в теоретической механике Вы меняете уравнения Гамильтона на другие.
Сразу вопрос, а на какие другие Вы поменяете уравнения Гамильтона? У вас есть, что предложить на замену уравнений Гамильтона?
Никто и никогда еще не получил, с одной стороны, непротиворечивой теоретической физики и, с другой стороны, непротиворечивости теоретической физики и экспериментальной физики, с другими уравнениями, отличными от уравнений Гамильтона.
Поэтому нет оснований ставить под сомнения уравнения Гамильтона. И чем дальше, тем больше получают подтверждений верности уравнений Гамильтона.

Конечно умозрительно можно всегда подумать, так. А вдруг есть какая-то другая сложная форма уравнений Гамильтона, такая, что теория не будет противоречить эксперименты, а закон сохранения выполняться не будет. Вдруг эту форму уравнений просто не нашли.
Но для практических применений это не будет иметь никакого значения. На практике для расчетов будут использовать уравнения Гамильтона, так как они проще, а результат будут давать практически такой же, как сложные уравнения с отсутствием закона сохранения энергии.

Поэтому поиском такой ерунды никто не занимается.

"Догмат", точнее закон появился оне откуда, а от кого! Если вы не знаете ответ на такой простой вопрос, то вы не пройдете ЕГЭ. Если вы не прошли ЕГЭ, то вам следует вернуть деньги в казну, которая тратилась на ваше образование.