Решение неравенств

К номеру 4. Если х+у=5, то это равенство геометрически означает прямую линию, проходящую через точки (0;5) и (5;0). Эта прямая делит плоскость на две половинки ("полуплоскости"). Неравенство x+y <= 5 выполняется в той полуплоскости, которая расположена ниже прямой.
Если 2х+7у=-7, то это - прямая, нарисовать которую не так уж трудно. Соответствующее неравенство выполняется в полуплоскости, расположенной ВЫШЕ этой прямой. Эти два неравенства вместе выполняются в общей части упомянутых полуплоскостей - т. е. в пересечении полуплоскостей.

Точно так же надо поступить с двумя оставшимися неравенствами. Пересечение всех четырёх полуплоскостей и есть искомая область - это четырёхугольник. Для нахождения вершин надо брать соответствующие пары уравнений прямых (всего 4 пары) и решать эти системы.

(1) Вспоминаем, что корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа, и знаменатель дроби не может быть нулевым. |x|-2≥0; x²-9≥0; 5-x>0; |x|≥2; |x|≥3; x<5. Первые два неравенства эквивалентны одному |х|≥3 Его решения -∞<х≤-3 и 3≤х<+∞. С учетом третьего: -∞<х≤-3 и 3≤х<5. (2) x²+x+1=t, t-3/t≤2; t²-2t-3≤0 Решение этого неравенства: -1≤t≤3. Обратная замена -1≤х²+х+1≤3; решаем то, что слева: х²+х+1≥-1; х²+х+2≥0 - всегда. Теперь справа: х²+х+1≤3; х²+х-2≤0; -2≤х≤1. Обращаем внимание, что х не может равняться единице, иначе будет ноль в знаменателе, поэтому исправляем неравенство на строгое справа: -2≤х<1. Второе - аналогично. (3) По определению |х|=х, если х>0, |х|=-х, при х<0, и |х|=0, при х=0. Пусть х+1<0, (х²-1-1-х) /(х (х-2)≥0; (х²-х-2)/(х (х-2))≥0; ((х+1)(х-2))/(х (х-2))≥0; решение -∞<х≤-1; 0<х<2 и 2<х<+∞, с учетом первоначального предположения, что х<-1, остается -∞<х<-1. Теперь пусть х+1>0: (х²-1+х+1)/(х (х-2))≥0; х (х+1)/(х (х-2))≥0; запомним, что х≠0, сократим на х и учтем первоначальное предположение о знаке х+1: 1/(х-2)≥0; решение 2<х<+∞. Неравенство стало строгим! И последнее х=-1, обращающее модуль в ноль. Тупо подставим: 0/2≥0 следовательно в точке -1 неравенство выполняется. Объединим с первым и получим ответ: -∞<х≤-1 и 2<х<+∞.