почему математиков (не прикладников) интересует как правило поиск аналитического, а не численного метода решения задачи?

потому, что аналитическое решение может показать что-то, чего на численном не увидишь, например - разрывы. А еще его можно потом анализировать, разбираться со свойствами решения.

Хотя ленивые типа меня - сначала ищут численное решение. Ну я как раз "любой прикладник".

Есть такие понятия в математике - красота, элегантность решения. Кроме практической цели (численный расчёт в конкретном случае) , человеку может быть интересно глубоко понять суть проблемы, получить решение в общем виде.

Есть разные подходы . В maple – формулы в чести, в экселе –
числа.

И то и то имеет предпочение для разных задач. Формула может
использоваться в другой формуле . Вот, например синус. Он зашит в виде
алгоритма (ряда) в мат. программах .

к ней обращаемяся и
вот ответ. А так пришлось бы строить
таблицу . Кстати, в экселе тож определенная процедура, а не числа. С другой
стороны скорость . Maple
начинает формулу преобразовывать (из комбинаций нескольких стандартных) и если
нужно одну и ту же формулу применять 100 раза, каждый раз так делает. Как то
пришлось доводить до числа сотни значений. Эксель на порядок быстрее .

Да и формулы аналитические получить можно в простых случаях
. Считается удача.
Сейчас практически все решается численно . Дифуры ,
интегралы и т. д.
Упомянуты красота, элегантность ...
Конечно хорошо, но если формула на 2 страницы ...)

Красивые значки и шрифт . А так - дело вкуса )))

Аналитическое решение можно рассмотреть со всех сторон. Ну а нафига прикладнику этим голову забивать? Да и мало задач, которые полностью аналитически решаются. По тем же квантам уже все что можно порешали аналитически.