1=0. не верите? найдите ошибку!

Выше правильно написали, что у исходного уравнения нет корней, подразумевая действительные корни. Т. е. ни при каком действительном х не выполняется первое равенство. Поэтому только логично, что ни при каком действительном х не выполняется последнее равенство.

Однако можно рассмотреть это на множестве комплексных чисел.
Уравнение
x2+x+1/3 = 0; //я поделю на тройку, ладно?
Имеет комплексные корни:
Х1,2 = (-1+/- sqrt(1-4/3) )/2 = (-1 +/- i/sqrt(3))/2 = -1/2 +/- i/2sqrt(3)

Значит при х=Х1,2 первое равенство будет верным. Это так. Можно проверить.
Что же дальше? Ведь из (х+1)=х стопудово следует 1=0.

Но тут уже некорректен переход с извлечением кубического корня. В ТФКП (теории функций комплексного переменного) все корни - многозначные функции. Кубический корень всегда имеет 3 значения.
Можно либо перевести это число в форму A*exp(jф) и извлекать корни из этого, или воспользоваться формулой для двух дополнительных корней:

(См. это и это)
Так вот, при извлечении кубического корня подходит один из трёх вариантов.

То, что они работают можно проверить на одном из корней.
1/2*(-1/2 + i/sqrt(12) )*(-1 + i*sqrt(3) ) = 1/2*( 1/2 - i/sqrt(12) - i*sqrt(3)/2 - 1/2)
1/2*( 1/2 + i/sqrt(12) )*(-1 - i*sqrt(3) ) = 1/2*( -1/2 -i/sqrt(12) -i*sqrt(3)/6 + 1/2)

Таким образом, из строчки
(x+1)^3=x^3
уже следует не x+1=x,
А выражение через кубический корень комплексного переменного.
ОШИБКА именно в это переходе!

>^.^<

Добавляю: Смотрю, Булат 1 уже тоже про комплексные числа написал.

У этой параболы минимум = 0,25 при х=-0,5, так что прибавляй х в кубе, не прибавляй.. . всё равно равенство неверное. Как исходное, так и все последующие. Ни при каком вещественном х оно не выполняется.

3*x^2 + 3*x + 1 = 0
Попробуем решить это квадратное уравнение в действительных числах.
D = 9 - 12 = -3 - дискриминант отрицательный, действительных решений нет.
То есть ваше уравнение x+1 = x будет верным при НИКАКИХ действительных числах, что и требовалось доказать.
Если же переходить к комплексным, то из (x+1)^3 = x^3 будет следовать не только равенство x+1 = x, но и парочка других. Если "спуститься" обратно к квадратному уравнению, то получим ровно ДВА комплексных числа, для которых верны уравнения
3*x^2 + 3*x + 1 = 0,
и (x+1)^3 = x^3,
НО НЕ x+1 = x (равенство КУБОВ не означает равенство самих чисел, если говорить о комплексных числах. Равенство кубов означает равенство самих чисел только если речь о действительных числах).

Если первое равенство не имеет реальных корней, то и все последующие равенства - неверные. Для проверки попробуй с х=-1

самое первое уравнение неправильное

Всё првильно