возможна ли орбита планеты в виде восьмерки? с двумя звездами и как в таком случае меняются день-ночь и времена года?

Возможна.
Другое дело, что образование планеты с такой орбитой маловероятно.
А смена времени суток и времён года зависит от параметров вращения планеты - скорость, наклон оси.
Может и так случиться, что на ней будет вечный майский день.

Возможна, если планету вывести на орбиту уже в готовом виде. Но это бесконечно тонкое равновесие, все равно что поставить один шар на другой. Планета покинет это равновесие практически сразу же, в одну из двух сторон - либо крутиться вокруг одной из звезд, либо вокруг обеих (при условии, что РАЗМЕРЫ этих звезд мы принимаем за точечные. В реальности будет вероятен также и вариант с падением на одну из звезд) . Поэтому "восьмерок" нигде в природе и не встретишь.
Но Дядя Митя прав - чтобы планета хотя бы образовалась, нужно очень много времени и много витков продержаться на постоянной орбите. Кроме того, планета стягивается из облака мусора, обладающего некоторыми конечными размерами, а это УЖЕ означает, что оказаться на такой точной орбите может только ОДИН фрагмент этого облака. Весь остальной мусор уже на следующем витке окажется на других орбитах, и у облака просто не появится шанса собраться воедино.
Поэтому - невозможно!

Теоретически возможна, но маловероятна, к тому же неустойчива относительно малых возмущений.

Да, возможна. Времена года и смена дней и ночей зависят от расстояния до звезд и характеристик самих звезд, может быть по-разному.

ты придумал, ты и продолжай.

Хол Клемент. Огненный цикл

Будет элипс. Центры надо считать. Вообще то это 2- курс физики в институте 1-й семестр.

Невозможна - планета станет спутником лишь одной из звезд.

Восьмёрки не будет. Планета будет вращаться вокруг общего центра масс. (Мне так кажется)