Откуда взялось понятие предела числовой последовательности, что это такое и где используется??

Иногда возникают задачи, которые нельзя решить "в лоб" - например, если мы хотим вычислить скорость объекта в какой-то момент времени, то мы получим, что за 0 секунд он прошел 0 метров, и его скорость 0/0 - абсурд. Зато если мы будем измерять пройденный путь и среднюю скорость за 1 минуту, 10 секунд, 1 секунду, 0,1 секунды и т. д. , то будет видно, что скорости изменяются все меньше и когда-то должны сойтись в одно значение - ту самую скорость в конкретный момент времени. Вот пределы и создают аппарат для решения таких задач.

Предел это способ введения новых математических объектов, ранее не существовавших. Например, фундаментальная последовательность рациональных чисел может быть названа действительным числом, которое будет считаться теперь пределом этой последовательности. Таким образом, мы из рациональных чисел "создали" действительные. Это называется "пополнение".

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a называется пределом последовательности {X(n)}, если для любого e>0 существует номер N(0) такой, что для любого n>N(0) выполняется неравенство |X(n)-a|<e
Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. [1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.