Математики, можно ли, манипулируя аксиомами, узреть новую теорему? Как появляются формулировки теорем? Как догадки?

Как я уже писал в комментариях к Вашему вопросу про Евклидову геометрию, существует такая интересная штука, как теоремы Гёделя "о неполноте".

Первая из них доказывает, что в любой непротиворечивой формальной системе, в которой можно определить натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение, существует невыводимая и неопровержимая теорема.

Вторая теорема доказывает, что в вышеопределённой формальной системе невозможно вывести теорему, доказывающую непротиворечивость этой системы.

Т. е. с помощью конечного числа аксиом невозможно построить полную непротиворечивую формальную систему, включающую в себя арифметику.

Вывод: аксиоматический подход в принципе НЕ ПРИМЕНИМ для построения "полной" математики.

Не "манипуляции с аксиомами", а решение множества задач - источник новых утверждений.

"Слова, написанные или произнесенные, не играют, видимо, ни малейшей роли в механизме моего мышления. Психическими элементами мышления являются некоторые, более или менее ясные, знаки или образы, которые могут быть «по желанию» воспроизведены и скомбинированы. ..Элементы, о которых я только что говорил, у меня бывают обычно визуального или изредка двигательного типа. Слова или другие условные знаки приходится подыскивать (с трудом) только во вторичной стадии, когда эта игра ассоциаций дала некоторый результат и может быть по желанию воспроизведена. "
Эйнштейн

Это неправильный вопрос. . Всё как раз совсем наоборот - аксиомы подбираются под уже сформулированные теоремы! !
Ну а формулировки теорем - это изначально откровенная чушь (см, например оригиналы записок Менделеева относительно периодической таблицы элементов) , ну а потом эта чушь шлифуется для соответствия с устоявшейся научной доктриной
Шо там за награда, и шо там за аксиоматический там подход - я без малейшего понятия))