Почему есть аксиомы, а есть теоремы? Почему что-то требует доказательств, а что-то нет? От чего это зависит?

От начального набора аксиом зависит то, какие у Вас будут теоремы.
Это как координаты вектора зависят от выбранной системы координат.
Считайте, что выбранный Вами набор аксиом соответствует набору координат, на который натягивается всё остальное пространство теорем. Существует минимальный набор аксиом в пространстве теорем, на который можно натянуть всё пространство теорем. Если аксиом больше минимального набора, то, значит, какую-то из этих аксиом можно доказать через остальные аксиомы, то есть какую-то из этих аксиом мы можем считать теоремой.
Аналогия такая. Если в трехмерном пространстве Вы выбираете базис из 4-х векторов, то значит, какой-то из этих 4-х векторов лишний, в том смысле, что все вектора можно однозначно выразить через три вектора. Да и тот 4-й вектор тоже можно выразить через оставшиеся три вектора.

От очевидности это зависит !

Теоремы доказывают, опираясь на другие теоремы. Эта цепочка доказательств должна где-то кончиться. Точнее, начаться. Вот на аксиомах она и начинается. Это минимальное число утверждений, из которых выводят теорию.
Аксиомы нельзя доказать, потому что это первоначальные утверждения. Кроме них пока ничего нет.

Аксиому глупо доказывать. Истина.

Потому что что-то можно вычислить и доказать (это теоремы) , а что-то нельзя никак (аксиомы) . Теоремы доказываются на основе аксиом с помощью лемм. Наоборот - низзя.

Теоретически доказывать не нужно то, что известно из практики.