почему аксиома не требует доказательств?

Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».

Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрией, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.

Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает вероятность истинности системы аксиом.

Вы про математику или про жизнь?
В математике при построении некоторой "теории" приходится вначале ясно описать некоторые исходные объекты и зафиксировать правила действий с ними. Это и есть система аксиом. Выводить или доказывать их невозможно, так как это исходные "кирпичики" для целого здания.

Смысл аксиом проще всего понять на примере любой логической игры: шахматы, шашки и т. д. Если у вас нет записанных правил игры, то вы не знаете что с этими фигурками можно делать. Список правил не обсуждается. Если сказано, что только конь перемещается буквой “Г”, то это аксиома, ее не требуется доказывать. Если сели играть в шахматы, то будьте любезны выполнять все аксиомы этой игры. Пользуясь этими аксиомами вы можете доказать, что данная комбинация фигур на доске приводит к выигрышу (доказательству теоремы) или к проигрышу (опровержению теоремы).

Пример с шахматами наглядно демонстрирует связь аксиом и теорем в математике с установленными правилами игры. Да, вы можете принять другие правила, ввести в игру другие фигуры, но это будет уже другая игра. Она может оказаться во многом похожей на исходную, то есть многие приемы достижения победы старой игры могут приводить к успеху и в новой.

Кроме того, на примере шахмат легко понять разницу между аксиомой, теоремой и гипотезой. Гипотеза – это предположение, которое пока никто не доказал, не выиграл определенную позицию. Отличие шахмат от математики состоит в том, что встречаются гипотезы которые доказать чрезвычайно трудно, если вообще возможно.

Почему... почему... Почему скорость - это отношение пути ко времени? Почему ромб - это четырёхугольник с равными сторонами?..
Ах да... Только-что дошло до меня. Вы хотели спросить: "Почему существуют аксиомы - утверждения, которые невозможно доказывать?" Но так и надо было спросить. На это уже ответили товарищи.

Потому что это глупо. Доказывать истину.

В свое время, аксиома не требовала доказательств, потому что это было очевидно, по крайней мере, по чувственным восприятиям. Не так давно, это слово превратилось в слово "постулат", потому что просто "так получилось, примите это на веру".

Не то, чтобы их не требуют, скорее, их просто нету. Факт, который утверждает аксиома есть, а его доказательств нет.

Доказать суждение = логически вывести его из других суждений. В этой цепочке какие-то суждения должны быть начальными, их выводить не из чего.

Если я выпил 0,5 рома, крепостью 40 градусов, я вырублюсь в натуре, и это аксиома

док-во от противного: дана аксиома, она требует доказательства, отсюда следует, что это - теорема. Следовательно: противоречие с исходной посылкой. Итого, ответ: аксиома не требует доказательства

потому что она уже имеет доказательство, иначе это не аксиома

то что доказывается - называется по-другому. теорема.

Потому что это и так всем понятно должно быть если подумать.