Если все теоремы основаны на аксиомах принятых без доказательств, значит ничего на самом деле не доказано?

Процесс формализации проходит следующим образом: сначала мы набираем для нашей области большой объем описательных данных, затем из этого всего выделяем аксиомы и правила вывода. Результатом будет построение непротиворечивой теории, описывающей всю совокупность явлений в предметной области, замкнутой относительно своих логических следствий. В формализованной теории мы уже получаем возможность решать, принадлежит явление теории или нет, а также доказывать теоремы и следствия без обращения к подтверджению на практике, на основе только ее языка. Конечно, можно и нужно перекраивать ее потом для соответствия эксперименту, а то воображаемых миров можно придумать много.
Математика - это формальный язык, при помощи которого эти теории удобно строить. Вопрос непротиворечивости самой математики здесь поднимать не будем, хватит проверяемости на практике.
Математические объекты - абстрактные, они так взаимодействуют, потому что так придуманы.

Доказано, что из аксиом следуют теоремы.
А вообще ваш вопрос не об аксиомах и теоремах, а о том, что такое "на самом деле". Может, на самом деле, самого дела нет...

да, единственным критерием истинности является проверяемость на практике.
аксиомы это утверждения принимаемые без доказательств потому, что верность элементарных фактов неоднократно проверена на практике.
аксиома непроверяемая на практике - это вера.
Но если из простых, многократно проверенных на практике фактов следует нечто более сложное, то логическая последовательность утверждений путем которых делается вывод о верности этого сложного факта, называется теоремой.

доказано на100 процентов и поэтому не требует доказательств