В чем разница центра масс и центра тяж.?

Человек на луне как я весит - 12 кг.

Да ни в чем. Одно определяется через инерцию, другое - через гравитацию.
Если тело раскрутить в ИСО (чтобы во время вращения не действовали внешние силы) , то вокруг какой бы оси оно не вращалось, центр масс будет лежать на этой оси.

С гравитацией аналогично. В однородном гравитационном поле подвесьте тело за ниточку, чтобы оно не начинало вращаться. Найдите некую ось с возможными точками подвеса.

Потом поверните и повторите эксперимент. В точке пересечения осей и будет центр тяжести.

Если очень хочется писать много букв, то можно это всё через моменты или интегралы расписать.

Сила тяжести на поверхности Земли есть равнодействующая двух сил: силы притяжения, направленной к центру массы Земли, и центробежной силы, направленной перпендикулярно к оси вращения Земли. Так как Земля сплюснута вдоль оси вращения, то сила притяжения у полюсов больше, чем в других местах, и уменьшается к экватору. Кроме того, центробежная сила действует против силы притяжения. Поэтому сила тяжести на поверхности Земли уменьшается при переходе от полюсов к экватору. Разница в ускорении силы тяжести между полюсами и экватором составляет g90 - g0 = 983,2 - 978,0 = 5,2 см/сек2. Около 2/3 этой разности возникает за счет центробежного ускорения на земном экваторе и около 1/3 - за счет сплюснутости Земли. Среднее значение ускорения силы земной тяжести принимается равным g = 981 см/сек2 Результаты измерений ускорения силы тяжести в различных точках земной поверхности показали отклонения (возмущения) силы тяжести по сравнению с ее нормальным ходом, соответствующим эллипсоиду. Эти отклонения называются аномалиями силы тяжести и объясняются тем, что строение земной коры неоднородно как в отношении видимых наружных масс (горных массивов и т. п. ) , так и в отношении плотностей горных пород, составляющих земную кору. Ряд мелких неоднородностей в строении верхних слоев земной коры вызывают местные аномалии силы тяжести, охватывающие небольшие районы. Местные аномалии свидетельствуют о наличии залежей ископаемых, обладающих либо очень большой плотностью (например, руды металлов) либо очень маленькой плотностью (например, залежи нефти, каменной соли) .