Существуют ли такие эксперименты, которые показывают, что электроны теряют энергию во время излучения фотона ...

Первое, что приходит в голову — циклотронное излучение.

Собрали циклотрон, где ускоряющим электрическим полем разгоняют в технологическом вакууме электроны, движущиеся по кругами под действием магнитного поля. Стали наращивать разгон электронов — их скорости возросли. Добавили еще и еще. Скорости ненамного увеличились, зато появилось ЭМ-излучение, которое потом и назвали циклотронным.

Сколько бы дальше не увеличивали подводимую мощность излучение росло, а скорости — нет. Вся прибавка уходила на ее излучение электронами: электрон ведь излучает не только в атоме, переходя с уровня на уровень, но и при отклонении в магнитном поле.

Излучение это жесткое, зависит от ускоряющих потенциалов и величины магнитного поля (ф-лы см. в Вики), фотоны излучаются с энергией, конечно, не оптического (видимого) диапазона, а уровня ренгеновского.

Электрон сам по себе не излучает и не поглощает (реальные) фотоны. Электрон может излучить фотон при ускоренном движении, то есть при воздействии на него силы, то есть говоря аккуратно - фотон может образоваться при взаимодействии электрона еще с чем-то.

Фотон - переносчик электромагнитного взаимодействия. Чего мудрить?

эксприменты существую, пруфы искать лень, гугел он такой гугел.
ненадо путать тёплое с мягким тоби ж кванты и фотоны

Всё, о чём Вы спрашиваете, относится к фотохимии (см. h_t_t_p_s://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%8F). А масса, не только экспериментов, но и практически значимых технологий, простирается от фотографии до лазеров... см. напр.
h_t_t_p://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/176213ae-c5e5-e47a-94a4-59c7b9b72599/1004604A.htm