Почему в школе учат, что на 0 делить нельзя. Нельзя делить 0 на 0, да и вообще не объясняют сущность нуля.

А НАФИГА делить на ноль?

Множество натуральных чисел расширяют до целых из соображений алгебры, полезные алгебраические свойства натуральных сохраняются.
Множество целых чисел расширяют до рациональных из соображений алгебры, полезные алгебраические свойства целых сохраняются.
Множество рациональных чисел расширяют до действительных из соображений анализа, полезные алгебраические свойства рациональных сохраняются.
Множество действительных чисел расширяют до комплексных из соображений алгебры, вышеперечисленные полезные свойства действительных сохраняются, за исключением упорядоченности.

Нафига делить на ноль из соображений анализа, если алгебраические свойства встанут раком? То есть иногда доопределяют деление на ноль в некоторых случаях, но редко, это и числами назвать нельзя будет.

Потому что при делении на нуль получается НЕ ЧИСЛО. А школьная программа не рассчитана на работу в такой области математики.
И при чем тут пределы? Нуль - это конкретная величина, а не "бесконечно малая".

Сущность тут не при чем. Запещень делить просто по определению!
А смысл в том, чтобы арифметическая операция возаращала ровно одро число, иначе будет неудобро писать выражения.

Никто не запрещает решать уравнения вида 0х =а

Подаваемая информация должна соответствовать уровню развития мозга. Мозг среднестатистического школьника готов воспринять упрощённую трактовку "ноль - это ничто", но не готов к континуумам разных порядков. Тем более, школьная программа и так напряжена, не знаешь, за какой учебный предмет хвататься))

Перегрузка мозга ведёт не только к пропусканию информации мимо ушей, но и травмирует его. Когда церковь гоняла проповедников гелиоцентризма, она на самом деле заботилась о здоровье среднестатистического жителя средневековья)

Пределы - это не деление на ноль, это деление на бесконечно малую величину.
Делить на ноль - нельзя

как можно делить на то, чего нет??

Потому что на ноль делить нельзя.
И пределы к арифметике никакого отношения не имеют.

потому что нельзя решить уравнение 0*X=6 например
Другое уравнение имеет много решений 0*X=0
А вообще у нуля нет обратного элемента

Ты таблицу умножения хоть знаешь, всю?

Операции можно проводить только с числовыми значениями. Цифра 0 указывает на полное отсутствие таковых. Правильно понимать, что цифра 0 не число.

можно, почему нет? решай на здоровье уравнение
x/0=a
x=a*0

Да им просто в падлу да и всякие пределы это не на 0 делят же! на чистый 0 никак не поделить тут 2 варианта: 1) отсутствие действия вообще так как 0 - нихера 2) получится бесконечная бесконечность которая даже бесконечнее чем бесконечность...

)))

Ребята, давайте жить дружно.
Я тоже считаю, что делить на ноль нельзя. Вернее, как нельзя... Что получится в итоге? Бесконечность? Число ли это? А принципиально ли, является ли бесконечность числом или нет?
Я думаю, что в математике можно делать если не все что хочешь, то как минимум многое. И математики делили бы на ноль, если бы им это было нужно, удобно. Но такой аппарат не имеет для них интереса, видимо. Есть аппарат пределов, он вполне непротиворечив и удобен, как мне показалось.
Получается бесконечность после деления на ноль? А бесконечность одна и та же, или разные? Например A^2 / A = (A^2 / 0) / (A / 0) = inf / inf = 1? Трудно найти смысл. В пределах же смысл определенно есть.

Недавно видел учебник по элементарной математике, в котором последние главы были в том числе посвящены пределу. Если рассказать о нем вкратце, наверное, это не такая уж и сложная тема. Хотя я в школе не сразу "привык" к этому процессу.

Ко всем предыдущим ответам, пожалуй, стоит добавить несколько интересных ссылочек:
http://habrahabr.ru/post/233103/
http://habrahabr.ru/post/247635/
http://habrahabr.ru/post/249431/
http://dxdy.ru/topic78760.html
http://dxdy.ru/topic20530.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Undefined_(mathematics)
Вот скрин, если ответы что-то не пропустят.