Зачем придумали мнимое число?

Очень часто приходится работать с ними в электронике. Например используя только действительные числа сложно изобразить вектор, изображающий ток, отстающий или опережающий по фазе напряжение, в этом случае используют дополнительную числовую прямую, перпендикулярную действительной, пересекающуюся с ней в точке 0,т. е. числовую прямую мнимых чисел, это позволяет считать цепи с реактивной нагрузкой, при этом с лёгкостью определять как угол сдвига фаз, так и мгновенное значение напряжений и токов, а заодно при необходимости выделять активную и реактивную составляющую нагрузки.

Основное практическое применение - связь тригонометрических и степенных функций.

Придумали - потому что интересно.
А потом оказалось, что эта штука чрезвычайно полезная. Нынче без нее никуда.

Допустим так ну а скажем нет урожая как ты его запишешь? Или урожай пол мешка тогда как? оттуда и нуль и 1/2 а от нуля десятеричная система отчета.

Придумали затем, чтобы операция извлечения корня была всегда выполнима.

Вот посмотрите. Когда-то люди знали только натуральные числа. У древних римлян даже нуля не было. Но вычитание в рамках натуральных чисел не всегда выполнимо. Расширили множество чисел до целых (то есть добавили ноль и отрицательные числа). Вычитание стало всегда выполнимо, но деление -- по-прежнему нет. Скажем, в рамках целых чисел нельзя 5 разделить на 2. Расширили множество чисел еще, то есть перешли от целых чисел к рациональным. Деление стало всегда выполнимо, но извлечение корня -- по-прежнему нет. Среди рациональных чисел нет такого, которое являлось бы квадратным корнем из двух, например. Добавили иррациональные числа. Теперь из любого положительного числа стало можно извлечь корень, а из отрицательного -- всё еще нет. Добавили мнимые числа, и вот только после этого все арифметические действия (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень и извлечение корня) стали выполнимы для любых чисел (ну, кроме деления на ноль, разумеется).

Чтобы делать приписки.

Существует масса применений этому. Например решение кубических уравнений, есть способ решения при котором бывает необходимо извлекать корень из отрицательного числа, потом снова идет домножение на этот корень и он исчезает, но если бы нельзя было извлекать корень из -1, то все бы застопорилось бы на начальном этапе. Так же комплексные числа вылезают очень часто в физике. И у них есть физический смысл. Например теория колебаний, там они часто используются для упрощения вычислений. Так же без комплексных чисел не обойтись при описании процессов происходящих на скоростях близких к скорости света, те они имеют применение в Специальной Теории Относительности (если интересно посмотрите на интервал пространственно подобного промежутка). Так что применений масса, без них никак.