Формула площади треугольника

Вот вывод:
Пусть нам известны сторона c, угол γ против неё и разность d = a - b двух других сторон
Возведём эту известную разность d квадрат. Получим d^2 = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Это очень похоже на теорему косинусов, только у -2ab не хватает множителя cosγ, поэтому отнимем и прибавим 2abcosγ. Получим d^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγ + 2abcosγ - 2ab.
Первые три слааемых - это квадрат известной стороны c по теореме косинусов, в последних двух вынесем за скобки 2ab. Получим:
d^2 = c^2 + 2ab(cosγ - 1). Отсюда выразим произведение ab

ab = (c^2 - d^2) / 2(1 - cos γ) - после несложных преобразований в числителе и знаменателе изменили одновременно знак.

Итак, мы знаем произведение двух сторон, знаем угол между ними. Всё готово для формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = ab/2 * sinγ

Получим: S = (c^2 - d^2)*sinγ / 4(1 - cosγ).

Формулу эту можно ещё упростить, если в дроби sinγ / 1 - cosγ представить sinγ как 2 sin(γ/2) cos(γ/2), а 1 - сosγ как 2sin^2(γ/2). После сокращения получится формула котангенса половинного аргумента. Эта дробь равна сtg(γ/2).

Получим тогда S = (c^2 - d^2)*ctg(γ/2) / 4

Это две равноправные формулы - кому какая нравится

готовой нет, неготовую - выводить муторно и несложно.

Высота к стороне умножить на длину этой стороны и поделить пополам

Их есть несколько

http://100formul.ru/55 - сразу тебе и онлайн-калькулятор

попробуй использовать площадь через 2 стороны и косинус между ними и теорему косинусов