Чем отличаются колебательные движения от других видов движения ?

Давай думать. "Периодичность" - это, конечно, важно. Вот, например, качели качаются, мы их раскачали, больше не раскачиваем. Это затухающие колебания.
Кстати, что там периодично в затухающих колебаниях качелей?

Например частицы воды при нагревании начинают вращаться быстрее, а говорят "начинают колебаться быстрее".. В данном случае подразумевается геометрия колебания. Или говорят "сезонные колебания температуры", подразумевается изменение средней температуры воздуха (среды) в течении года (времени года) Колебания это изменение параметров за единицу времени, выраженные некоей функцией (графиком), показывающей зависимость одного параметра от другого.

периодичным изменением координаты, скорости и ускорения. при поступательном движении эти величины не периодичны. при вращательном движении периодична только координата.

Я по простому понимаю так, что колебаться можно только около центра, а не куда хочешь. Типа маятник должен быть прицеплен. Частицы воды при волне никуда не двигаются поступательно, они вверх-вниз только двигаются. Особо хреново когда в стоячую волну попадешь.

периодичностью

Функцией ...его описывающей.

Что-то является изменением базиса, а что-то является комбинацией базиса. Почти любое непериодическое преобразование можно представить в виде двух составляющих - операции перехода к новому базису и суммы осцилляций, т. е. колебаний в этом базисе. На физическом языке это разложение сложного движения на поступательное и вращательное. Условием же осцилляций являются некоторые особенные свойства базиса, которые позволяют соотнести действия в этом базисе с симметричной группой. Именно поэтому как поступательное, так и вращательное движение может иметь признаки осцилляций. Еще раз - колебательные движения выделяют симметрии (четность и т. п.).

Синусоидой...

Они возвратно-поступательны.