Если в воображаемую шахту, до центра Земли, бросить тело. Сколько времени оно будет лететь?

по закону сохранения энергии mV^2/2=mg(ср) R (1). g(ср) - это среднее значение ускорения свободного падения на пути равном радиусу земли R. т. к. это ускорение равномерно уменьшается от g до 0, то g(ср) =g/2, тогда из (1) V=√(gR). это есть не что иное как первая космическая скорость. итак тело падая увеличивает свою скорость до первой космической в центре земли,
потом уменьшает ее до нуля на другом конце земли, затем возвращается в исходную точку, т. е. совершает колебания. период этих колебаний найдем из равенства V=wR=2piR/T, отсюда T=2piR/V=2piR/√(gR)=2pi√(R/g). а это ничто иное как период колебаний математического маятника с длиной равной R. подставляя R=6371000м, g=9,81м/с^2, получаем Т=5066с=84мин 26с. полет до центра равен четверти периода, т. е t=21мин 6,5с.
P.S. естественно при расчете я пренебрег всеми силами кроме силы тяжести.

Желательно шахту вакуумировать. Считать будет легче.
http://school.komi.com/study/lessons/07.htm

При условии, что в шахте будет вакуум, плотность Земли не будет меняться к центру, Земля не будет вращаться, то такое тело вылетит на другую сторону, на такую же высоту, с которой его запустили, за время равное половине орбитального периода спутника на этой высоте. Туда-обратно тело пройдет за тоже самое время, что и спутник сделает полный оборот... и так будет вечно колебаться. Но это в идеальных условиях, не в реальных. В реальных долго и нудно считать... а главное незачем.

А, еще у Перельмана есть такое http://allforchildren.ru/sci/perelman2-41.php
Классика

Вернемся к нашим полупериодам. По-моему, так :)
В принципе, с Перельманом сходится...

Тсп/2
Тсп по этой формуле найдешь.
y - постоянная тяготения
M - масса Земли

Оно будет как маятник: туды-сюды

тебе зачем?