Почему при подъёме автомобиля в гору или при движении по песку водитель включает первую скорость?

Двигатель выдаёт мощность: N = Mw, где M - крутящий момент; w - угловая скорость (число оборотов в минуту).
Чем меньше "обороты", тем больше крутящий момент при той же мощности.
А крутящий момент - это и есть M = FR, где F - сила тяги; R - плечо силы (радиус колеса).
Чтобы увеличить тягу, нужно снижать обороты.

Мотор слабый... Первая скорость дает преимущество в тяге, но скорость при этом низкая.

закон рычага Архимеда

Водителя так учили. Двигатель у него слабенький.

Вот ф-ла: Мк= КПДтр*iкп*iгл. п. *30Nе/(пnдв), где Мк - крутящий момент на колесах, КПДтр - коэф. пол. действ. трансмиссии, iкп - передаточное число коробки передач, iгл. п. - пер. число главной передачи, Nе - эффективная мощность двигателя, nдв - число оборотов коленвала за мин. Как видно, крутящий момент прямо пропорционален передаточному числу коробки. А на первой передаче это число наибольшее...

Не мощности, а ньютон-метров.

При движении по песку или в гору важно, чтобы на колёса передавался большой крутящий момент.

Поскольку мощность двигателя ограничена, а на бензиновом двигателе ещё и не может быть получена на минимальных оборотах, нужно включить ту передачу, которая имеет большее передаточное число. При этом выходное звено, то есть колёса будут вращаться медленнее, чем на прочих передачах, но с бОльшим крутящим моментом.

То есть всё, как вам написали выше, упирается в золотое правило механики. Его обычно подают в применениии к рычагам, но шестерёнки в коробке передач это те же рычаги, "размазанные" по цилиндрическим валам.

P.S. На Форд Т въезжали в гору на задней передаче, поскольку на ней было ещё большее передаточное число, чем на первой.

Золотое правило механики: чем меньше скорость, тем больше мощность.