Постоянный вектор и сила Лоренца

Исследуем устойчивость положения равновесия в линейном приближении. Введем декартову систему координат XYZ с началом в центре сферы так, что ось z направлена вертикально: x^2 + y^2 + z^2 = r^2, g = -g • e_z (нижнее подчеркивание означает, что дальше, то есть после подчеркивая, идет нижний индекс), B=B • e_z.
g, е_z, B — векторы.
За обобщенные координаты точки в окрестности полюса примем x и y. Лагранжиан линеризованной системы имеет вид:
см. прикрепленное фото.
Eсли rB^2 > 4gm^2 то указанное положение равновесия устойчиво в линейном приближении т. е. является устойчивым решением системы (*).
При rB^2 < 4gm^2 положение равновесия исходной нелинейной системы неустойчиво.

Стрелка компаса поворачивается внутри магнитного поля Земли, которое не образуется вокруг Земли, но существует и сейчас вокруг и в каждой точке Земли. Если возле компаса положить два магнита, то компас покажет на полюса этих магнитов, которые находятся внутри магнитного поля Земли. Магниты или например железо лишь искажают направление, которое показывает компас. Однако и компас и магниты не перестают находиться внутри магнитного поля Земли. Думаю понятно..
Рамка с постоянным током поворачивается в направлении север юг подобно стрелке компаса, т. е. рамка с постоянным током поворачивается также, как и стрелка компаса внутри и силой магнитного поля Земли. Если возле рамки положить два магнита, рамка покажет на полюса этих магнитов, но и рамка и магниты не перестают находиться внутри и вращаться силой магнитного поля Земли. Если к рамке подключить переменное напряжение, рамка начнет вращаться... а это принцип действия всех электродвигателей на планете Земля.

Однако в учебнике написано, что рамка с током имеет собственное магнитное поле, игнорируя тот факт, что рамка с постоянным током поворачивается в направлении север-юг...

Нет. Магнитное поле воздействует только на движущиеся заряженные частицы. В состоянии покоя частица не будет испытывать никакой силы со стороны магнитного поля