Сила Лоренца.

Про Ваше доказательство … сила Ампера …работает аддитивность
влияния отрезков с током. Уравнения Максвелла, в отличии от уравнений Навье –
Стокса, допускают суперпозицию, то есть сумма влияния равна влиянию суммы. О силе Лоренца . На заряд в поле Е действует сила Кулона. Но
если порождающие это поле заряды двигаются, то появляется и магнитное . В не релятивистской области … пропорционально скорости, в СТО – член с гаммой.

Если в пределе взять ток, создаваемый ОДНИМ-ЕДИНСТВЕННЫМ электроном, который мотается по кругу, то вполне очевидно, что чисто из определения тока (заряд, проходящий через данное сечение проводника в единицу времени) вытекает пропорциональность скорости.

Вывести силу Лоренца логически - из каких предпосылок? Логически, то есть языком математики, эта формула выводится из уравнений Максвелла, и то довольно сложным путем – Томпсон, который впервые вывел эту формулу из уравнений Максвелла, и тот сделал это сначала с ошибкой в коэффициенте. А уравнения Максвелла выводились первоначально из представления, что пространство заполнено какими-то вихрями, вращающимися наподобие шестеренок, причем между ними есть еще и маленькие промежуточные шестеренки, что ни в какую логику вообще не лезло, но работало, то есть из этой модели удавалось вывести формулы, правильно описывавшие известные к тому времени электромагнитные явления. Позднее Максвелл шестеренки вообще выкинул, а формулы оставил: электромагнитное поле – это сущность, описываемая вот такими уравнениями, и всё тут. Из них математически выводится формула для силы Лоренца.
Коротко суммируя: сила обнаружена экспериментально. Она в пределах точности наших экспериментов укладывается в принятую нами математическую модель. И никакого другого логического вывода тут не будет. А связь сил Лоренца и Ампера Анатолий Лукин в своем ответе очень подробно вывел.

Это опытный факт. Что тут можно доказывать логически?

С логическими доказательствами на пустом месте осторожнее. Галилей опытом установил, что все тела падают с одинаковым ускорением - прекрасно. Но показалось недостаточно крепко, и Галилей присовокупил логическое доказательство того же. Убедительное.. . но содержащее логическую ошибку.
И это Галилей, а не Антон, и не Сергей!

Это доказывается экспериментально путём прохождения пучка электронов с известным распределением скоростей через магнитное поле и наблюдая результат в трековых камерах.

Выше вы решили сложное дифференциальное уравнение силы ампера (такого Ампер не знал, так как получил все эмпирически) . По правде говоря, она зависит много от чего. И от индукции, а ещё и от плотности тока. Просто сила тока - это двойной интеграл (интеграл по площади) от плотности тока (jdS). Так что сила Ампера не может зависеть только от силы тока. Она зависит от длины, индукции, и плотности тока. Что же касается силы Лоренца, то давайте её выведем? Возьмите силу Ампера, F = IBL*sin(a), сила тока и концентрация носителей по всему проводнику постоянная, тогда запишем силу тока как I = q*n(концентрация) *v(средняя скорость) *S. Значит, F = q*n*v*S*B*L*sin(a), всмотритесь внимательнее, если вы умножите концентрацию на длину проводника и площадь поперечного сечения (n*S*L), то получите число свободных носителей заряда. Тогда для одного носителя мы получим F=q*v*B*sin(a). Сила Лоренца для одного заряда равна F = q*v*B*sin(a), где a - это угол между вектором магнитной индукции и вектором скорости. Всё.

Вообще по современным представлениям, сила Лоренца которая действует на движущуюся частицу является причиной одного из элементарных взаимодействий, а точнее электро-магнитное взаимодействия. По сути, если вы не крутой физик-теоретик, то для вас это надо принимать как эмпирический факт. Электричество и магнетизм имеет одну природу и их различие связано с относительностью движения, доказывается это при помощи СТО (Специальной Теорией Относительность Эйнштейна).