Чем объясняется электрическое сопротивление в теории Друде-Лоренца.

Идея: электроны движутся как свободные частицы, и время от времени соударяются. Плотность тока:
j = p v
p - плотность заряда
v - скорость зарядов (вектор)
Выражение для плотности заряда:
p = n e
n - концентрация (которая считается константой)
e - заряд электрона (минус будет содержаться в параметре e)
Усредняем выражение для плотности тока по времени и по электронам:
j = n e v
jср = n e vср
Скорость зарядов:
v = Vт + U
Vт - скорость теплового хаотического движения, не зависит от внешнего поля
U - вклад в скорость, обусловленный влиянием внешнего поля.
Далее рассматриваем электрон между его соударениями. После предыдущего соударения электрон приобрел скорость Vт (|U| << |Vт|, поэтому можно пренебречь влиянием поля на установившееся тепловое равновесие и на распределение по Vт).
Далее, отсчитывая время t от момента этого последнего столкновения:
v = Vт + w t
w - ускорение, сообщаемое внешним полем.
Уравнение движения свободного электрона:
m w = e E
m - масса
E - напряженность внешнего поля
w = e E / m
тогда скорость:
v = Vт + e E t / m
и после усреднения:
vср = (Vт) ср + (e E / m) tср
Во-первых, (Vт) ср = 0, т. к. Vт распределена одинаково по всем направлениям.
Во-вторых, если за T обозначить время максимально долгого свободного пробега, и распределение по временам пробега считать равномерным:
tср = T / 2.
Тогда средняя скорость:
vср = 0.5 e E T / m
И выражение для плотности тока:
jср = 0.5 n e^2 E T / m
Закон Ома в дифференциальной форме:
jср = g E
g - проводимость.
Тогда сразу видим:
g = 0.5 n e^2 T / m