Раскрытие рекурсии как решить ???

s[n]=n*(n+1)/2+2

Соррян. Ты сама решила две переменные N и n использовать, для красоты?

Два зеркала.

а в данном случае n = N? :)

а то как-то странно... итерируем по n, зато добавляем N (то есть некий свободный член, не имеющий ничего общего с аргументом функции)

но если имелось ввиду S(n) = S(n-1) + n, то можно взять любое число вместо n и попытаться посчитать результат

представим что n=10.
тогда S(10) = S(9)+10 = S(8)+9+10 = ...= 3+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 2 + 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

возьмём другой пример
S(5) = S(4)+5 = ...= 3+2+3+4+5 = 2 + 1+2+3+4+5

Замечаем закономерность, S(n) равно сумме всех чисел от 1 до n включительно плюс ещё 2

Теперь применим индуктивный метод для нахождения суммы последовательного ряда:
все элементы ряда начиная с первого увеличиваются на 1 с каждым шагом
все элементы ряда начиная с последнего уменьшаются на 1 каждым шагом

отсюда вывод, что сумма первого и последнего элементов равна сумме второго и предпоследнего равна сумме третьего и предпредпоследнего и так далее. И таким вот продвижением с разных сторон одновременно в какой-то момент вы дойдём ровно до середины ряда и у нас закончатся элементы. А значит сумма ряда равна сумме первого и последнего чисел, умноженной на половину длины ряда (которая в нашем случае равна n)

итак, сумма последовательного ряда от 1 до n = (n+1)*n/2
а теперь мы можем посчитать, что наше S(n) = 2 + (n+1)*n/2

P.S. Вот именно из-за сложности индуктивных методов лучше применять их только тогда, когда точные и выверенные формулы не работают. :) всё-таки математически эта задача решается во множество раз проще. Точнее даже так, она математически решается одной строкой, как это сделал Юрий Семыкин

А к какой науке это относится?