Как вычислить обратную величину степени числа?

Корень 10-й степени из 1024 = 2

Аналитического метода вычисления корня данной степени из числа нет в отличие от степени с натуральным показателем.
Можно разложить в ряд Тейлора.
Можно определить известные границы корня - интервал, на левой границе степень будеть меньше, на другой - больше. Затем сужать его, разбив интервал на 10 равных частей, и взяв в качестве интервала тот, на левом конце которого будет степень меньше данного числа, на другом - больше. Любое число внутри интервала будет приближённым значением степени.
Например, если нужно вычислить корень 10-й степени из 1000, то очевидно, что он лежит в пределах от 1 (1^10 = 1 < 1000) до 2 (2^10 = 1024 > 1000).
Возьмём числа 1,1 1,2 и т. д. до 2. Проверяем каждое из них, пока не найдём, что
1,9^10 = 613,10... < 1000, 2^10 = 1024 > 1000.
Значит искомый корень лежит между 1,9 и 2.

Если нужно ещё уточнить, берём числа 1,91 1,92 ...1,99 2

Имеем, 1,99^10 = 973,93... < 10
2^10 = 1024 > 1000
Границы сузились ещё.

Уточняем опять. На этот раз проверка показывает, что

1,995^10 = 998,68 < 1000
1,996^10 = 1003,70 > 1000

Искомый корень лежит в интервале 1,995 < x < 1,996

За приближённое его значение с точностью до 0,001 можно взять любое значение внутри интервала.

Если нужно ещё уточнить, уточняем по той же методике.

P.S В вопросе уравнение x^10 = 100, а не x^10 = 1000, но описанная методика подходит и и для него.

Найти основание по степени и показателю. Так это называется.
X в степени a равно b. Логарифмируем обе части уравнения. Получаем: a*Ln(X) = Ln(b). Откуда, Ln(X) = Ln(b) / a и X = "e" в степени Ln(b) / a.

Основание особой роли не имеет. Хоть натуральный логарифм, хоть десятичный, хоть по основанию 2. Результат будет одинаков.

Но "ручками" взять логарифм или возвести основание в дробную степень... Это достаточно сложно. Обращайтесь к калькуляторам.